2009—数一真题、标准答案及解析.doc

PAGE 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 19 - 页 共 NUMPAGES 19 页 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. （1）当时，与等价无穷小，则 (A). (B). (C). (D). -1-111 -1 -1 1 1 四个区域，，则 (A). (B). (C). (D). （3）设函数在区间上的图形为 1 1 -2 O 2 3 -1 1 则函数的图形为 (A) O23 O 2 3 1 -2 -1 1 O 2 3 1 -2 -1 1 (C)O23 O 2 3 1 -1 1 O 2 3 1 -2 -1 1 （4）设有两个数列，若，则 （A）当收敛时，收敛. （B）当发散时，发散. (C)当收敛时，收敛. (D)当发散时，发散. （5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基 的过渡矩阵为 (A). (B). (C). (D). （6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 . . . . （7）设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则 (A). (B). (C). (D). （8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为 (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. （9）设函数具有二阶连续偏导数，，则 . （10）若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为 . （11）已知曲线，则 . （12）设，则 . （13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 . (14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差.若为的无偏估计量，则 . 三、解答题：15~23小题，共94分. （15）（本题满分9分） 求二元函数的极值. （16）（本题满分9分） 设为曲线与所围成区域的面积，记 ，求与的值. （17）（本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆相切的直线绕轴旋转而成. （Ⅰ）求及的方程 （Ⅱ）求与之间的立体体积. （18）（本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得 （Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. （19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面 的外侧. （20）（本题满分11分） 设，. （Ⅰ）求满足的. 的所有向量,. （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,证明,,无关. （21）（本题满分11分）设二次型 （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值. （22）（本题满分11分）袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数. （Ⅰ）求； （Ⅱ）求二维随机变量概率分布. （23）（本题满分11 分） 设总体的概率密度为，其中参数未知，，,…是来自总体的简单随机样本. (Ⅰ)求参数的矩估计量； （Ⅱ）求参数的最大似然估计量. 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分. （1）当时，与等价无穷小，则 (A). (B). (C). (D). 【答案】 A. 【解析】为等价无穷小，则 故排除(B)、(C). 另外存在，蕴含了故排除(D). 所以本题选（A）. -1-111 -1 -1 1 1 四个区域，，则 (A). (B). (C). (D). 【答案】 A. 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性. 两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的奇函数，所以; 两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的偶函数，所以； .所以正确答案为(A). （3）设函数在区间上的图形为 1 1 -2 O 2 3 -1 1 则函数的图形为 (A) O23 O 2 3 1 -2 -1 1 O 2 3 1 -2 -1 1 (C)O23 O 2 3 1 -1 1 O 2 3 1 -2 -1 1 【答案】D. 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得