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机密★启用前
江苏大学2005年硕士研究生入学考试试题
考试科目： 高等代数
考生注意：答案必须写在答题纸上，写在试题及草稿纸上无效!
一（18分）计算 n阶行列式 ， 其中 .
二（20分）设A=
求：（1）A的不变因子、行列式因子、初等因子。
（2）A的Jordan标准形。
三（16分）设V是一n 维欧氏空间，是 V中一固定向量。
证明：是V的子空间；
证明：的维数等于.
四（16分）设 是一对称矩阵，且 ，证明：存在，
使得 ，其中*表示一个阶数与相同的矩阵。
五（18分）设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，
证明：（1），线性无关，
（2），， 线性无关，
（3）非齐次线性方程组Ax=b的任一个解可表示为
（其中且）
六（18分）设是线性空间上的线性变换，且有。试证：与有相同的核（即）的充分必要条件是
七（18分）试证：当为n阶可逆矩阵时，，（）
八（18分）
（1）证明：在中，多项式是一组基，其中是互不相同的数。
（2）在（1）中取是全体n次单位根，求由基到基的过渡矩阵。
九 （8分）
设
证明：若，则
注：表示上的线性变换，
表示线性变换的核。
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