大学物理第13章.pdf

第13 章 振动 m 13-1 如图13-23 所示，质量为 的密度计，放在密度为 的液体中。  已知密度计圆管的直径为 。试证明：推动密度计后，证明它在竖直方 d 向的振动为简谐振动，并计算其振动周期。 解：平衡位置： 当F =G 时，平衡点为C 处。设此时进入水中的深度 浮 为a：gSa mg 可知浸入水中为a 处为平衡位置。 以水面作为坐标原点O，以向上为x 轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么 位置，其浸没水中的部分都可以用a-x 来表示，所以力 F g (a x)S gaS gSx kx F gSx d 2 x 2 gS gd 2 a  令 m m dt 2 m 4m d 2 x 2 可得到：  x 0 可见它是一个简谐振动。 dt 2 4 m 周期为：T 2 /  d g 13-2 证明图13-24 所示系统的振动为简谐振动。 1 k k 1 2 其频率为： 2 (k1  k2 )m 图13-24 习题13-2 图 证明：两根弹簧的串联之后等效于一根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满 足：K x K x Kx 和x  x x 1 1 2 2 1 2 1 1 1 K K 1 2 可得：  所以：K K K K K K 1 2 1 2 1 k 1 k k 1 2 代入频率计算式，可得： 2 m 2 (k1  k2 )m 13-3 如图13-25 所示，有一截面积为S 的空心管柱，配有 质量为m 的活塞，活塞与管柱间的摩擦略去不计。在活塞处 于平衡状态时，柱内气体的压强为p ，气柱高为h 。若使活 塞有一微小位移，活塞将上下振动，证明它在竖直方向的振 动为简谐振动，并计算其振动频率。设气体温度不变。 图13-25 习题13-3 图 解：在静平衡时：p 0 S  mg pS d 2 x 当活塞下降 x (任意位置)时：p S p S  mg m 0 1 2 dt d 2 x 由上两式得到：pS p S m 1 2 dt