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北 京 交 通 大 学
2004年研究生入学《高等代数》试题
一．填空题
1、已知方程只有一个有理根，它是 ；
2、设3阶矩阵A的3个特征值为2,3,4，则|2A|= ,
3、如果有重根，则k= ；
4、设矩阵的最小多项式分别是f ,g,则矩阵 的 最小多项式是 ；
5、复数域上全体5阶反对称矩阵，关于矩阵的加法与数乘做成实数域上线性空间的维数等于 ；
6、线性空间V的零变换的核空间是 ；
7、已知和是线性空间P4[x]的两组基，则由基到基的过渡矩阵
是 ；
8、k阶Jordan块
的最小多项式是 ；
9、已知矩阵A的初等因子组为，则其Jordan标准形矩阵
是 ；
10、设是欧氏空间V的一组标准正交基，是V中任一向量，则对基的坐标是 ；
二、计算n阶行列式
三、设V是由数域P上次数小于n的多项式全体组成的线性空间，是n个互不相同的数，令
证明是V的一组基。
四、 设A是欧式空间V的线性变换,B是同一个空间V的一个变换，且对有(AB 证明：
（1）B是线性变换；
（2）A的核等于B的值域的正交补。
五、 设有两个线性方程组：
证明（1）有解，当且仅当（2）无解。
六、设A，B为n阶方阵,证明AB-BA必不相似于kE,其中k为非零常数。
七、设A为n阶方阵且均不可逆，试讨论A是否
相似于对角阵，并说明理由。,
。
八、设A为n阶可逆实矩阵，求B的正负惯性指数。
九、设A为n阶半正定矩阵，B为n阶正定矩阵.证明
（1）
(2) 上式等式成立当且仅当A=0.
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