2003－数三真题、标准答案及解析.doc

PAGE 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 19 - 页 共 NUMPAGES 19 页 2003年考研数学（三）真题 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是_____. （2）已知曲线与x轴相切，则可以通过a表示为________. （3）设a0，而D表示全平面，则=_______. （4）设n维向量；E为n阶单位矩阵，矩阵 ， ， 其中A的逆矩阵为B，则a=______. （5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若，则Y与Z的相关系数为________. （6）设总体X服从参数为2的指数分布，为来自总体X的简单随机样本，则当时，依概率收敛于______. 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且存在，则函数 (A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0. (C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点取得极小值，则下列结论正确的是 (A) 在处的导数等于零. （B）在处的导数大于零. (C) 在处的导数小于零. (D) 在处的导数不存在. [ ] （3）设，，，则下列命题正确的是 (A) 若条件收敛，则与都收敛. (B) 若绝对收敛，则与都收敛. (C) 若条件收敛，则与敛散性都不定. (D) 若绝对收敛，则与敛散性都不定. [ ] （4）设三阶矩阵，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b0. (C) ab且a+2b=0. (D) ab且a+2b0. [ ] （5）设均为n维向量，下列结论不正确的是 (A) 若对于任意一组不全为零的数，都有，则线性无关. (B) 若线性相关，则对于任意一组不全为零的数，都有 (C) 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s. (D) 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ] （6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：={掷第一次出现正面}，={掷第二次出现正面}，={正、反面各出现一次}，={正面出现两次}，则事件 (A) 相互独立. (B) 相互独立. (C) 两两独立. (D) 两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设 试补充定义f(1)使得f(x)在上连续. 四 、（本题满分8分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求 五、（本题满分8分） 计算二重积分 其中积分区域D= 六、（本题满分9分） 求幂级数的和函数f(x)及其极值. 七、（本题满分9分） 设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在内满足以下条件： ，，且f(0)=0, 求F(x)所满足的一阶微分方程； 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分） 设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使 九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组 其中 试讨论和b满足何种关系时， (1) 方程组仅有零解； (2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型 ， 中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12. 求a,b的值； 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为 F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数. 十二、（本题满分13分） 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 ， 而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 2003年考研数学（三）真题解析 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）设 其导函数在x=0处连续，则的取值范围是. 【分析】 当0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求