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西安理工大学研究生招生入学考试 《高等代数》考试大纲 科目代码：850 科目名称：高等代数 第一部分 课程目标与基本要求 一、课程目标 “高等代数”是数学专业的一门重要基础课。本课程是数学学生进一步提高专业知识水平提供必需的代数基础理论和基本方法，对学生抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力培养，以及后续课的学习起着非常重要的作用。本课程考查考生对多项式、矩阵、多维空间等的基本概念的理解，对多项式和线性代数特性的基本分析方法掌握的程度；考查考生基本知识的运用能力。 二、基本要求 “高等代数”课程的任务是研究多项式、行列式、线性方程组、矩阵、矩阵的对角化问题、二次型、线性空间与线性变换、欧氏空间等的基本概念和基本理论，使学生认识线性代数知识。通过本课程的学习，学生能运用数学工具正确分析线性系统，使学生具备进一步学习后续课程的理论基础。 第二部分 课程内容与考核目标 多项式 1、理解多项式的定义、运算及运算规律 2、掌握整除的概念，整除的性质及带余除法定理 3、熟练掌握公因式、最大公因式的定义，最大公因式的存在性定理及最大公因式的求法 4、掌握可约多项式、不可约多项式的概念，不可约多项式的性质 5、理解唯一性分解定理及典型分解式 6、了解多项式的导数、求导法则及重因式的定义，多项式的重因式与其导式的关系及多项式无重因式的充要条件 7、掌握多项式的值，多项式函数，余式定理，一个数是多项式函数的根的充要条件及多项式相等的充要条件 8、熟练掌握代数基本定理，根与系数的关系，实系数多项式的性质 9、掌握本原多项式，高斯引理 10、熟练掌握艾森斯坦判断法，整系数多项式有理根的求法 11、了解多元多项式，对称多项式 第二章 行列式 1、掌握线性方程组与行列式的关系，排列及其逆序，奇、偶排列，对换及其作用，求排列的逆序数 2、熟练掌握n阶行列式的定义，行列式的基本性质 3、掌握子式和代数余子式，行列式按行（列）展开 4、了解拉普拉斯定理，Vandermonde行列式 5、熟练掌握计算行列式的若干方法 6、掌握利用克拉默法则求解方程组 第三章 线性方程组 1、掌握线性方程组的初等变换，矩阵的初等变换，利用增广矩阵的初等变换求方程组的解 2、理解掌握向量空间的定义和简单性质，向量的线性组合、线性相关、线性无关 3、熟练掌握向量组的等价、极大线性无关组的定义及性质，基与维数的定义及性质 4、熟练掌握矩阵的子式和秩的定义、求法 5、理解掌握线性方程组可解的判别法，线性方程组的通解 6、掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件 7、了解二元高次方程组 第四章 矩阵 1、理解矩阵的运算和运算规律，矩阵的多项式 2、理解矩阵的转置及其性质 3、熟练掌握可逆矩阵的定义和简单性质 4、熟练掌握初等矩阵，矩阵可逆的充要条件及可逆矩阵的两种求法 5、掌握矩阵乘积的行列式和秩，分块矩阵的运算 第五章 二次型 1、理解二次型的矩阵和秩，二次型与对称矩阵的一一对应 2、掌握二次型等价与矩阵合同之间的关系，合同变换与初等矩阵的关系，将对称矩阵通过合同变换化为对角形矩阵的方法 熟练掌握二次型的等价标准形的存在唯一性，实二次型等价标准形的存在唯一性，实数域上对称矩阵（二次型）的惯性指标和符号差 熟练掌握正定二次型的定义及判断二次型正定的方法 第六章 线性空间 1、理解集合的定义、表示及集合间的关系，映射、单射、满射、双射，恒等映射，合成映射，逆映射的概念 2、理解线性空间的定义和简单性质 3、理解基与维数的定义及性质 4、掌握向量的坐标，坐标变换公式，基的过渡矩阵和性质 5、熟练掌握线性子空间的定义及判断，生成子空间，基的扩充定理 6、熟练掌握子空间的交与和，子空间的直和 7、掌握和的维数公式 8、了解线性空间的同构 第七章 线性变换 1、理解线性变换的定义和简单性质 2、理解线性变换的运算及其简单性质 3、熟练掌握线性变换关于某个基的矩阵，向量的象的坐标公式，线性变换与矩阵的同构对应，线性变换在不同基下的矩阵的相似关系 4、熟练掌握特征值和特征向量的定义及求法 5、熟练掌握相似矩阵的特征多项式的性质，矩阵对角化的定义，属于不同特征值的特征向量线性无关 6、掌握不变子空间的定义和简单性质，不变子空间与简化线性变换的矩阵的关系，线性变换和矩阵可对角化的充要条件 第八章 -矩阵