2009—数二真题、标准答案及解析.doc

PAGE 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 18 - 页 共 NUMPAGES 18 页 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数的可去间断点的个数为（ ） 1. 2. 3. 无穷多个. （2）当时，与是等价无穷小，则（ ） . . . （3）设函数的全微分为，则点（ ） 不是的连续点. 不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点. （4）设函数连续，则（ ） . . . . （5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ） 有极值点，无零点. 无极值点，有零点. 有极值点，有零点. 无极值点，无零点. （6）设函数在区间上的图形为 1 1 -2 0 2 3 -1 O 则函数的图形为（ ） . 0231-2-1 0 2 3 1 -2 -1 1 0 2 3 1 -2 -1 1 .0231-11 0 2 3 1 -1 1 0 2 3 1 -2 -1 1 （7）设，均为2阶矩阵，分别为，的伴随矩阵.若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ） . . . . （8）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，若 ，则为（ ） . . . . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. （9）曲线在处的切线方程为 . （10）已知,则 . （11） . （12）设是由方程确定的隐函数，则 . （13）函数在区间上的最小值为 . (14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 . 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分9分）求极限. （16）（本题满分10 分） 计算不定积分 . （17）（本题满分10分） 设，其中具有2阶连续偏导数，求与. （18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积. （19）（本题满分10分）计算二重积分，其中. （20）（本题满分12分） 设是区间内过点的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足.求的表达式. （21）（本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得； （Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且. （22）（本题满分11分设，. （Ⅰ）求满足的所有向量； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关. （23）（本题满分11分）设二次型 （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值. 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）函数的可去间断点的个数为（ ） 1. 2. 3. 无穷多个. 【答案】C 【解析】 则当取任何整数时，均无意义 故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解 故可去间断点为3个，即 （2）当时，与是等价无穷小，则（ ） . . . . 【答案】A 【解析】为等价无穷小，则 故排除. 另外存在，蕴含了故排除. 所以本题选A. （3）设函数的全微分为，则点（ ） 不是的连续点. 不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点. 【答案】 D 【解析】因可得 又在（0，0）处， 故（0，0）为函数的一个极小值点. （4）设函数连续，则（ ） . . . . 【答案】C 【解析】的积分区域为两部分： ， 将其写成一块 故二重积分可以表示为，故答案为C. （5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ） 有极值点，无零点. 无极值点，有零点. 有极值点，有零点. 无极值点，无零点. 【答案】 B 【解析】由题意可知，是一个凸函数，即，且在点处的曲率，而，由此可得， 在上，，即单调减少，没有极值点. 对于， （拉格朗日中值定理） 而 由零点定理知，在上，有零点. 故应选（B）. （6）设函数在区间上的图形为 1 1 -2 0 2 3 -1 O 则函数的图