2009年华南理工大学研究生入学考试数学分析08题解答.doc

硕士研究生考试《数学分析》试卷及其解答/?fromuid=204 PAGE PAGE 5 解答人：magic9901（digchessplu） DATE \@ yyyy-M-d 2009-10-13： TIME \@ H:mm:ss 11:05:32 2009年华南理工大学研究生入学考试 数学分析试卷第八题解答 01(10分)设函数，其中在的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 解：由导数的定义我们有： 02(10分)设，试证： 。 证：设，则 于是，严格单调递减，故，因此严格单调递增，于是立即得到所要证的不等式。 03(10分)设，求的极值。 解：，求偏导数得： 注意到，即得到二元一次方程组，解得极值点为，于是，故由知点（2，1）是极大值点，极大值为4. 04（10分）设，求 解：，于是 05（10分）计算其中C为椭圆，方向为逆时针方向。 解：做变换，则，其中O：，于是 再取O的参数方程：，代入计算就得到： 。 06（10分）计算，其中S为柱面及平面所围成的空间区域的整个边界曲面外侧。 解：由奥高公式得到： 设，则，于是就有： 07(15分)设，判断在上是否一致连续，并给出证明。 证：结论是在上是一致连续。证明如下： 首先，对于任意大于1的正数K，在[0,K]上连续，所以一致连续。另一方面，当时，，故在上一致连续，注意到，所以在上是一致连续。 08(15分)计算积分，其中。 解：首先把积分区域D分割成三块，设， ，，则 09(15分)计算积分。 解：由于，于是，因此由分部积分法就有： 故，这是一阶变系数线性非齐次常微分方程，利用常数变异法可以解得其通解为，其中C为待定常数，利用初值条件得到，所以。 10（15分）设讨论以下性质：（1）的连续性；（2）的存在性和连续性；（3）的可微性。 解：（1）当时，在点处是连续的，当时，即，由于：，所以也是连续的。 （2）通过偏导数的定义具体计算知道： 两个偏导数在都是连续的，在处不连续。 （3）当时，在点处是可微的，但是在处不可微。 11（15分）设，判断级数的敛散性。 解：首先用数学归纳法可以证明，于是存在，在递推关系两边取极限解出，于是就有 由于级数是收敛的，所以由比较原理就知级数也是收敛的。 12（15分）设在内有连续的一阶导数，试证：（1）若，则方程在内至少有一个实根。（2）若，则方程在内至少有一个实根。 证：（1）由于，故对，存在，当时，就有，即。根据Lagrange微分中值定理知道，其中，于是就有：当充分大时，。同理，，其中，于是就有：当充分小时，。由于在区间[a,b]上连续，故根据连续函数的零点定理就知方程在内至少有一个实根。 （2）如果，则命题结论显然成立。如果不恒等于零，则存在，使得，由于，于是对，存在，当时，就有。于是在区间上连续，则必存在最大值或最小值，其最大值点或最小值点（设为）必然在区间，由于当时，就有，故必是极值点，由于在区间内存在且连续，所以。因此方程在内至少有一个实根。