2008—数二真题、标准答案及解析.doc

PAGE 梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第 13 - 页 共 NUMPAGES 13 页 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设，则的零点个数为（ ） 0 1. 2 3 （2）曲线方程为函数在区间上有连续导数，则定积分（ ） 曲边梯形面积. 梯形面积. 曲边三角形面积. 三角形面积. （3）在下列微分方程中，以（为任意常数）为通解的是（ ） （5）设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是（ ） 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. （6）设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则 （7）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （8）设，则在实数域上与合同的矩阵为（ ） . . . . 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） 已知函数连续，且，则. （10）微分方程的通解是. （11）曲线在点处的切线方程为. （12）曲线的拐点坐标为______. （13）设，则. （14）设3阶矩阵的特征值为.若行列式，则. 三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)（本题满分9分） 求极限. (16)（本题满分10分） 设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求. (17)（本题满分9分）求积分 . (18)（本题满分11分） 求二重积分其中 (19)（本题满分11分） 设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且.对任意的，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式. (20)（本题满分11分） (1) 证明积分中值定理：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使得 (2)若函数具有二阶导数，且满足，证明至少存在一点 （21）（本题满分11分） 求函数在约束条件和下的最大值与最小值. （22）（本题满分12分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证； （2）为何值，方程组有唯一解，并求； （3）为何值，方程组有无穷多解，并求通解. （23）（本题满分10分） 设为3阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足， （1）证明线性无关； （2）令，求. 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题 (1)【答案】 【详解】因为，由罗尔定理知至少有，使，所以至少有两个零点. 又中含有因子，故也是的零点， D正确. 本题的难度值为0.719. (2)【答案】 【详解】 其中是矩形ABOC面积，为曲边梯形ABOD的面积，所以为曲边三角形的面积． 本题的难度值为0.829. (3)【答案】 【详解】由微分方程的通解中含有、、知齐次线性方程所对应的特征方程有根，所以特征方程为，即. 故以已知函数为通解的微分方程是 本题的难度值为0.832. (4) 【答案】 【详解】时无定义，故是函数的间断点 因为 同理 又 所以 是可去间断点，是跳跃间断点. 本题的难度值为0.486. (5)【答案】 【详解】因为在内单调有界，且单调. 所以单调且有界. 故一定存在极限. 本题的难度值为0.537. (6)【答案】 【详解】用极坐标得 所以 本题的难度值为0.638. (7) 【答案】 【详解】， 故均可逆． 本题的难度值为0.663. (8) 【答案】 【详解】记， 则，又 所以和有相同的特征多项式，所以和有相同的特征值. 又和为同阶实对称矩阵，所以和相似．由于实对称矩阵相似必合同，故正确. 本题的难度值为0.759. 二、填空题 (9)【答案】2 【详解】 所以 本题的难度值为0.828. (10)【答案】 【详解】微分方程可变形为 所以 本题的难度值为0.617. (11)【答案】 【详解】设，则， 将代入得，所以切线方程为，即 本题的难度值为0.759. (12)【答案】 【详解】 时，；时，不存在 在左右近旁异号，在左右近旁，且 故曲线的拐点为 本题的难度值为0.501. (13)【答案】 【详解】设，则 所以 所以 本题的难度值为0.575. (14)【答案】-1 【详解】