07中科院数分解答1.doc

求幂级数的收敛域，并求和 解：取收敛半径为，设，取临界状态，则有 从而只收敛域为，取，可知 2．讨论积分的绝对收敛和条件收敛 解：取= 当时，由于， 从而由收敛准则知，此时 发散 当时，由于，当且仅当，积分收敛，又因为 ， 其中在单调减，当时趋于零；，有 根据收敛准则，是收敛，而，故收敛，从而当且仅当时，积分收敛，又有 时，有 ，因此，此时条件收敛，当时，显然积分绝对收敛 3．计算曲面积分，其中为曲面在 平面的的右侧部分的外侧。 解：取为曲面，它的方向就为轴的负方向，为曲面和形成的几何体，则有 从而 = == 4．证明下列不等式； 证明：设，所以，则有在点 取得最大值； 由分析，只需讨论，根绝对称性，可设此时 有，又由于在处达到最小值 ，且有，又由于函数只有一个极小值点 ，所以在上递增，所以， 即