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北 京 交 通 大 学
2003年研究生入学《高等代数》试题
一．设f(x)是复数域上次数大于0的多项式，且证明
f(x)的根只能是零或单位根。
二．、设齐次线性方程组
的系数矩阵中划去第i列剩下的n-1阶行列式记为。
（1）证明是方程组的一个解；
（2）若A的秩为n-1,则方程组的解全是的倍数。
三、设A*为n阶方阵A的伴随矩阵，
（1）证明
；
（2）证明
四、设
。
求中全体与A可交换的矩阵所成的子空间的维数和一组基。
已知是4维线性空间V的一组基，线性变换A在这组基下
的矩阵为
（1）求 A在基下的矩阵；（2）求 A的核，并求它的维数与一组基；
（3）求 A的值域，并求它的维数与一组基。
六、设有复矩阵
（1）求A的不变因子；
（2）求A的初等因子；
（3）求A的Jordan标准形。
七、设是n维欧式空间V中的一组向量，它的格拉姆矩阵
证明线性无关当且仅当
八、 求正交矩阵T使T’AT成对角形，并写出相应的对角矩阵。
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