数学人教版九年级上册数形结合求二次函数最值.docx

数形结合求二次函数最值 教学内容分析 二次函数在中考中占有非常重要的地位，而二次函数在自变量给定区间内的最值在中考中频频出现，主要考察我们分类讨论和数形结合思想的应用。这节课我们主要以二次函数为例，讨论影响二次函数在自变量给定区间的最值，主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴的位置。而对称轴的位置是解决这类问题的关键。 教学目标设计 知识与技能 掌握运用数形结合求给定区间内的二次函数最值。体会利用对称性比较函数值大小。 分类讨论思想求二次函数的最值。 过程与方法 经历求最值、画图像，在给定区间内通过图像总结对称轴的位置与图像最值的关系，培养学生画图和推理能力。 结合图像与函数知识进行分类讨论求二次函数最值。 情感与价值 渗透数形结合、分类讨论思想，培养学生总结推理能力。 了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。 教学重难点 重点：通过数形结合总结在区间内求二次函数最值的方法，知道对称轴的位置最为关键。 难点：运用分类讨论思想求二次函数最值。 教学方法：讲授发现法、分类讨论法 教学过程（典型例题分析） 1、教师以数学家华罗庚先生的话引入本节课内容。“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体。永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致． 教师以二次函数y=-2x2-4x+6为例通过让学生求顶点坐标画草图，让学生复习二次函数基本知识，接下来教师通过给定自变量范围：（1）当-4≤x≤-2时的最值情况（2）当-2≤x≤时的最值情况 y=-2x2-4x+6 =-2（x+1）2+8 8 6 -3 -1 1 设计意图：学生复习求二次函数顶点坐标的方法和画草图的基本方法。通过画草图体会准确图像的重要性。让学生明确在自变量区间内对应的图像是抛物线的一部分从而找到对应的最值。学生通过自变量的不同区间得出不同最值。尝试得出结论：（1）当自变量区间在对称轴同侧时可根据函数增减性得出最值。（2）当自变量区间在对称轴异侧时，顶点就是其中的一个最值。 教师总结：在自变量给定区间内求二次函数最值时，对称轴的位置非常重要。当自变量区间在对称轴同侧时可根据函数增减性得出最值。当自变量区间在对称轴异侧时，顶点就是其中的一个最值。 2.师：当我们在图形上不能很直观的比较函数值的大小时可以适当辅助于计算。若函数图像上有以下六个点，利用二次函数对称性比较函数值大小（-5，y1）(-4,y2) (，y3)(，y4)(-1,y5)(3,y6)。 设计意图：通过比较函数值的大小，让学生体会二次函数的对称性。 3、学以致用，当堂练习 二次函数y=x2+2bx+c(b.c为常数)（1）当b=1,c=-3时求二次函数的最值情况 （2）当c=3时，求二次函数的最值情况 4、以近两年中考题为例分析这类题在中考试卷中的考点。 （2016.天津）已知二次函数y=(x-h)2+1，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为 A.1或-5 B.-1或5 C.1或-3 D.1或3 分析：由函数解析式得出图像的特点：开口向上，最小值为1。教师问：为什么在1≤x≤3的情况下最值是5呢？生回答：1≤x≤3在对称轴的同侧。得出结论：h1或h3可用排除法选择B。也可分析当h1时在1≤x≤3为增函数，当x=1时有最小值5，当h3时在1≤x≤3为减函数，当x=3时有最小值5。可列式（1-h）2+1=5和(3-h)2+1=5从而得出结论。 设计意图：通过分析让学生理解并会运用之前得出的结论，通过例题体会最值产生的过程和的出最值得方法。 5、（2015.天津）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）. （Ⅰ）当b=2，c=-3时，求二次函数的最小值； （Ⅱ）当c =5时，若在函数值y=1的情况下只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式； （Ⅲ）当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式. 重点分析第三问： 解析：当c=b2时，二次函数解析式为y=x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线x=﹣， ①当﹣＜b，即b＞0时， 在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，∴当x=b时，y=b2+b2+b2=3b2为最小值，∴3b2=21，解得，b1=﹣（舍去），b2=；②当b≤﹣ ≤b+3时，即﹣2≤b≤0，∴x=﹣，y= b2为最小值，∴b2=21，解得，b1=﹣2（舍去），b2=2（舍去）；③当﹣＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，故当x=