数学人教版九年级上册几何探究之旋转问题.doc

几何探究之旋转问题 【知识或方法点拨】 旋转的要素：旋转中心，旋转角，旋转方向 旋转问题的本质：只要有共端点的两条等长线段就可以发现旋转，一般以线段带动图形进行旋转，经常伴随全等或相似，从而进行边和角的转化 【常见基本结构】 （1）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形且有公共顶点A，请分别在下图中这五个点间连接两条线，构造一对全等三角形 （2）如图，正方形ABCD和正方形CEFG有公共顶点C，请分别在下图中这七个点间连接两条线（正方形对角线除外），构造一对全等三角形 （3）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形且顶角相等，请分别在下图中这五个点间连接两条线，构造一对全等三角形 【例题】 1、阅读下列材料： 问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数． 小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A（如图2），然后连结PP′． 请你参考小明同学的思路，解决下列问题： (1) 图2中∠BPC的度数为 ； (2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为 ，正六边形ABCDEF的边长为 ． 图1 图2 图3 解：（1）135°；（2）120°； ． 2、已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M. （1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数； （2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论. （3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°α120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数. CA C A P D B M E C M D A P B 2⑴ 1，60°【提醒：1是怎么得到的？】 …………………………………………2分 ⑵ 不变化. 证明：如图，点E在AP的延长线上， ∠BPE=α60°.（只要画出了符合题意的图形即可得分） ……………3分 ∵∠BPC=∠CPD+60°, ∠DPA=∠CPD+60°,∴∠BPC=∠DPA. 在△BPC和△DPA中，又∵BP=DP，PC=PA， ∴△BPC≌△DPA. …4分 ∴∠BCP=∠DAP. ∴∠AMC=180°-∠MCP-∠PCA-∠MAC= 120°-∠BCP -∠MAC =120°-（∠DAP+∠MAC）-∠PCA=120°-∠PAC= 60°，且与α的大小无关. 6分 ⑶ 不变化，60° ……………………………7分 3.如图1，已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC AD 图1下面的证法供你参考： 图1 把绕点A顺时间针旋转得到，连接ED， 则有,DC=EB ∵AD=AE, ∴是等边三角形 ∴AD=DE 在中，BD+EB DE 即：BD+DCAD 实践探索： （1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题： 图3图2如图2，点D是等腰直角三角形△ABC中BC边上的点（点D不与B、C重合），求证：BD+DCAD 图3 图2 （2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论. 创新应用： （3）已知：如图3，等腰△ABC中， AB=AC，且∠BAC=（为钝角）， D是等腰△ABC外一点，且∠BDC+∠BAC =180o， BD、DC与AD之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明. 3.（1）证明：把绕点A顺时针旋转得到，连接ED，------1分 则有,DC=EB ∵AD=AE,∴是等腰直角三角形 ∴DE=AD ------------------2分 在中，BD+EB DE即：BD+DCAD ------------------- 3分 （2）BD+DC≥AD【什么时候取等号？】 ---------4分 （3）猜想1：BD+DC〈2AD 证明：把绕点A顺时针旋转，得到