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《利用旋转变换解决几何问题》教学设计
三河市第七中学 刘海英
一、教学目标:
(1) 知识目标:通过具体实例认识旋转变换的基本图形,理解旋转的基本涵义;
(2)能力目标:探索旋转变换的本质,理解旋转前后两个图形全等,并利用旋转变换能准确找到全等三角形;培养学生的动手操作能力、发展学生直观想像能力,和分析、归纳、抽象概括的思维能力。
(3) 情感态度目标:通过讨论交流,合作学习培养学生团结协作,乐于助人的思想品质,并从中体会数学的简洁美、对称美、变换美。
二、学生情况分析:
九年级学生好动手、好动脑,有积极探究的热情.
三、教学重点:分析研究旋转变换,抽象概括旋转的基本图形,探索发现旋转的特征 。
教学难点:利用旋转作图做出辅助线。
四、教学过程
1、复习导入:复习旋转的性质(点、线段、三角形的旋转)
利用课件展示基本图形的旋转
教师提问:观察图形中点、线段、三角形的旋转有何特性?
师生活动:旋转前后的图形全等。
设计意图:让学生熟悉并理解旋转的基本图形,准确找到全等图形,相等的线段和角。
2、讲授新课:
活动1:以等边三角形为背景的旋转问题
如图,△BCM中,∠BMC=120°,以BC为边向三角形外作等边△ABC,把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.若BM=2,MC=3.
则∠ AMB的度数为 ;AM的长为 .
教师提问:(1)△ABM和△CAN有什么关系?
(2)BM与CN有什么数量关系?
(3)△AMN是什么三角形?为什么?
师生活动:学生思考并分析,因为旋转前后的两个三角形全等,所以BM=CN=2,△AMN是等边三角形,∠AMB=∠ANC=60°。因为AM=AN,∠MAN=60°,有一个角是60°的三角形是等边三角形。(这道题比较简单,教师可直接让学生思考后回答,并将学生的解答过程用投影展示,方便教师讲评。)
设计意图:让学生从具体实例中发现旋转现象,准确找到旋转中心、旋转方向、旋转角,借助实例,理解数学概念,准确找到全等三角形。
活动2:以一般等腰三角形为背景的旋转问题
(1)如图①,已知在△ABC中,AB=AC,P是△ABC内部任意一点,将AP绕A顺时针旋转至AQ,使∠QAP=∠BAC,连接BQ、CP,求证:BQ=CP.
(2)将点P移到等腰三角形ABC之外,(1)中的条件不变, “BQ=CP”还 成立吗?
教师提问:(1)怎么证明BQ=CP?
(2)证明这两个三角形全等需要哪些条件?
师生活动:学生先回答此题思路,再将解答过程用投影展示出来。
图1利用SAS证明△ABQ≌△ACP,由∠QAP=∠BAC,得到∠QAB=∠PAC,因为AB=AC, ∠QAB=∠PAC,AQ=AP,所以△ABQ≌△ACP。
图2中BQ=CP仍然成立,证法与图1相似。
设计意图:让学生能够熟练应用旋转的性质,即旋转前后对应角相等,对应线段也相等,找到证明△ABQ和△ACP全等的依据。图2中P点变换了位置,证明
△ABQ和△ACP全等的方法与图1类似,只是证明∠QAB=∠PAC的方法与图1略有不同,在证明是教师要提示学生注意。
活动3:以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题
已知,△ABC中, AD⊥BC于D, 且AD=BD,O是AD上一点,OD=CD,连结BO并延长交AC于E.
求证:AC=OB
教师提问:(1)要证明AC=OB,需证明哪两个三角形全等?
(2)证明这两个三角形全等需要具备哪几个条件?
师生活动:要证明AC=OB,需证明△ACD和△BOD全等,条件有AD=BD,∠ADC=∠BDO=90°,CD=OD,利用SAS证明△ACD≌△BOD. 学生先回答此题思路,再将解答过程用投影展示出来。学生做题时,教师巡视辅导。
设计意图:让学生在没有叙述旋转的图形中也能准确的找到两个旋转的三角形,并证明这两个三角形全等。这道题的难度不大,大部分学生都能快速的找到全等三角形并写出证明过程。
活动4:如图,在边长为1的正方形ABCD中,∠EBF=45°,求△DEF的周长.
教师提问:(1)左图中∠EBF=45°的条件如何使用?
(2)如何利用旋转构造出全等三角形呢?
(3)如何证明这两个三角形全等呢?
师生活动:师生共同分析,首先分析∠EBF=45°的条件如何使用,在左图中并没有全等三角形,将△BCF绕着点B逆时针旋转90°得到△BAF′,再根据SAS证明△BEF≌△BEF′,从而得到EF= EF′, △DEF的周长为AD+DC=2。教师帮助学生一起分析出思路后,再由学生独立完成此题的证明。
设计意图:本题的难点在利用旋转构造全等三角形,让学生体会一下利用旋转做辅助线,构造全等三角形的方法。这道题添加辅助线的方法不太容易想到,只要旋转作图完成,这道题就解决了。
活动5:如图,正方
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