数学人教版九年级上册实际问题与二次函数-----最大面积.doc

实际问题与二次函数 ——最大面积 新人民教育出版社 九年级 数学 大河镇第一中学 刘俊娟 学情分析 在解决函数的实际问题时，要善于从实际问题的情境中抽象出数学模型，使实际问题转化为数学问题。通过数学方法解决问题。学生刚刚学习了“二次函数的概念、图象及性质”，因此，顶点的横坐标不在自变量取值范围的二次函数的最值的求法学生学习有一定难度。只要教师能为学生搭建一个有梯次的研究型学习的平台，学生完全有可能由对具体事例的自主分析，建立数学模型，如再经教师巧妙引领，势必会激发学生对学习的兴趣，从而体会学习的快乐。 教学目标： 知识技能（1）能运用二次函数的最大值解决面积最大化的问题，并能利用函 数的图象与性质进行解题。 （2）通过对面积最大化的探究，渗透转化以及数形结合的数学思想； （3）体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。 过程与方法 应用已有的知识，经过自主探索和合作交流尝试解决问题。 情感态度（1）数学来源于生活，并能解决实际问题； （2）通过同学之间的合作与交流，让学生积累经验，提高探索能力 激发学习兴趣，发展学习动力，体会数学在生活中广泛的应用价值。 教学重点 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法 教学难点 顶点的横坐标不在自变量取值范围的二次函数的最值的求法。 教学方法 合作交流 教师引导 教学资源 多媒体 展台投影 教学过程： 温故知新： 1、复习一般形式的图像、顶点、对称轴、最值。 （设计意图：通过复习题1让学生回忆二次函数的图象和顶点坐标、最值、增减性，为学习新课做好知识铺垫。） 例1:如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2。 (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD 解：(1) ∵ AB为 A B C D ∴ BC=(24－4x)米 ∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0x6） X=（2） X= S= =36 ∴当X=3时，所围花圃面积最大，最大值是36米2 (3) ∵墙的可用长度为8 ∴ 24－4x ≤8 ∴ 4≤x6 由图像性质可知当 4≤x6 时图象位于对称轴右侧，S随X的增大而减小。∴当x＝4m时，S最大＝32 米2 （设计意图：这个问题本身对学生来说具有很大的挑战性，学生既感到好奇，又乐于探究它的结论，问题的设计由易到难，从而很自然地从复习旧知识过渡到新知识的学习。学生在前几问探究时，已经发现了面积不唯一，并急于找出最大的，而且要有理论依据，这样首先要建立函数模型，实际问题还要考虑自变量的取值范围，画图象观察最值点，这样一步步突破难点，从而让学生在不断探究中悟出利用函数知识解决问题的一套思路和方法，而不是为了做题而做题，为以后的学习奠定思想方法基础。解决完想一想之后及时让学生总结方法，为应用阶段打下思想方法基础。） （课前预知：问题（3）的解决学生可能代4、5这样的整数，也可能直接让BC=8直接求出面积最大值。当学生展示出以上答案后告知学生这样解题不严密应该用所学的知识完美解决问题。） 练习;你是最棒的 小明家门前有一块空地爸爸准备用一段长为40米的篱笆围成一边靠墙的草坪，墙长16米，当这个矩形的长和宽分别为多少时，草坪面积最大？最大面积为多少？ 解:(1)设AB为Xm面积为ym2当AB=xm时， 则BC=(40-2x)m ∴y=x(40-2x) y=-2X2+40X x的取值范围是12 ≤ x ＜ 20 ∵ 由图像性质可知当12 ≤ x ＜ 20 时图像位于对称轴右侧y随x的增大而减小 ∴当x=12时y最大，最大值为192。 （设计意图：本题的设计也是寻找了学生熟悉的家门口的生活背景，从知识的角度来看，求矩形面积也较容易，我在此设计了一个条件墙长16米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图象辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义