第十五章.虚位移原理.ppt

虚位移的英文名词是 virtual displacement . 意思是‘ 可能的位移’. 并不是‘虚无’的意思. 它的准确含义是: 为约束条件所允许的位移. 质点被约束在某一平面上, 其上有力的作用. 显然, 在此平面上有无限多为约束所允许的 位移. 怎样判断质点是平衡的? 如果沿任何可能的位移方向力系作功之和不为零, 则质点必有动能的增加, 因而不是平衡的. 如果沿任何为约束所允许的可能的位移作功之和为零, 则我们说质点是平衡的－ 这正是我们判别平衡的另一个准则－ 虚位移原理. 引 言 §15 – 1 约束 . 虚位移 . 虚功 约束及分类 约束: 限制物体运动的条件 约束的分类: ( 1 ) 几何约束 – 约束方程 表示为空间坐标的函数. 运动约束 – 约束方程中含有空间坐标对时间的导数 x y A B C L r B、C 点的约束方程: A点的约束方程: x y o A r (2)定常约束 – 约束方程不显含时间t . 非定常约束 – 约束方程显含时间t . A点的约束方程: x y 0 L A k o b ( 3) 双面约束 – 约束条件用方程给出. 单面约束 – 约束 条件用不等式给出. 0 y x A mg L A点的约束方程: x y o A r (4) 完整约束 – 几何约束和可积分的运动约束. 非完整约束 – 不可积分的运动约束. 冰刀在冰面上的运动. 圆轮的直线纯滚动. φ 可积分的运动约束 2. 虚位移 定义: 在给定瞬时, 质点系在约束所允许的条件下的任意 的无限小的位移. ▲: (1) 虚位移是‘ 等时变分’ 的概念. 不论约束是否定常, 必须把时 间 ‘ 冻结’ , 在此前提下才有虚位移的概念. (2) 虚位移仅为约束条件所允许即可, 而实位移除此之外还须由 动力学方程和初始条件等而定. 同一点的实位移只能有一个, 而虚位移可以有无穷多. (3) 稳定约束( 定常约束 )下, 实位移是众多虚位移中的一个.而在 非 定常约束下则不然. m m t t+dt 实位移 虚位移 60o 3. 虚功. 实功. △: 理想约束 : 定义 : 若其约束反力的功或约束反力的功之和为零, 这种约 束称为 理想约束. △△: 虚位移的求法: 1. 几何法 - 用几何学或运动学的条件直接求得. 例一. 试用OA杆的转角的变分δφ 表示A、B、C、D各点的虚位移, 已知OA = r. O A D O1 C r 30° B 30o 解: 由瞬时平动的概念: 由虚速度投影: 建立坐标系如图: y x 3. 混合法: l r φ A B C x 例三. 曲柄滑块机构如图. 试用φ 角的变分表示B、C 点的虚位移. C 点: B点: 2. 解析法: 借助于坐标系来表示虚位移. 例二. 图示双摆杆, 试用变量α、β 的变分表示A、B两点的虚位移. B A O P β α l l §15 – 2 虚位移原理 虚位移原理: 在完整, 定常, 理想约束下的质点系静止平衡 的充分必要条件是: 作用于质点系上的主动 力在任何虚位移中的元功之和为零. 即是: 质点系的静止平衡 同乘 有: 整个质点系便有: 对于理想约束: 证明: (必要性) ∵ 质点系的整体平衡, ∴ 对质点系中的任意一个质点 mi , 主动 力和约束反力的和为零. 即: ( 充分性从略 ) 2l FN F F δφ δs 例一. 图示螺旋压榨机. 其手柄上作用一水平面内的力偶, 其矩为2Fl . 设螺杆的螺距为h, 求平衡时作用于被压榨物体上的力. 解: 取系统分析, 设手柄顺力偶的方向 转了δφ 角 ( 力学语言称: 给螺杆以虚位移δφ ) , 则压板的虚位移为δs . 由虚位移原理: ◆:两种常 用的形式: (2) 直角坐标式 (解析法用) (1)矢量式 (几何法用) 例二. (参见书上例15 – 2 ) 图示结构, 已知力F 作用于G点. 各杆都以光滑铰链连接. AC = CE = BC = CD = DG = GE = l .在G、C 间有一刚度为k 的弹簧, 在 图示夹角为θ时 弹簧的伸长量为δ0 . 求支座 B处的水平约束反力. · x F G y E D A C B θ θ k FB F1 F1 解: 解除B 处相应的约束, 代之以相应的水平力和活动铰 支座