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实际问题与二次函数——利润最大(小)值问题
南宁市第十三中学 冼云彤
九年级上册课本52页第8题
某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲。如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用,房价定为多少时,宾馆利润最大?
一、题目分析
(1)题目背景1、题目涉及的知识点是二次函数的图像和性质,既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸,又为高中乃至以后学习更多函数,打下坚实的理论和思想方法基础。
(2)本题作为学习探究2(商品涨价降价,如何定价能使利润最大)的对应练习,它有别于学习中的探索活动,更不是课堂上教师的直接讲授,需要学生尝试从实际问题中分析变量之间的关系,建立函数模型,并借助二次函数的图像和性质解决问题。
(3)新课标中要求学生能通过对实际问题的情境的分析,确定二次函数的表达式;体会其意义;能根据图像的性质解决简单的实际问题。而最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一,通过本题的学习,希望学生能初步形成解决二次函数实际问题的解题模式。
(2)学情分析
学生已经掌握了二次函数的最值问题的解题方法,但本题信息量大,已知条件复杂,彼此交错影响,理不出头绪,容易生出畏难情绪。
在解题过程中将数学模型的思想逐步细化,体会运用函数观点解决实际问题的作用,初步体验建立函数模型的过程和方法
(3)重点:从实际问题中抽象出二次函数
运用二次函数的性质解决最大(小)值的问题
难点:将实际问题转化为二次函数问题
(4)教法分析:
教学方法: 采用问题式教学法,结合以学生分组讨论的学习方法
突出重点方法:关注学生在解题活动中的参与程度和思维水平,及时引导和归纳,帮助学生积累研究函数实际问题的步骤和方法。
难点突破方法:将学生难以理解,难以理清的知识,进行拆分,由简及深的以问题启发学生。
二、解题过程
(1)审题:抓住题目中的关键词
(2)分析:设计三个问题
问题一:题目研究的是哪两个变量的关系?
(利润随房价的变化而变化)
问题二:能根据题意列出等量关系吗?
(利润=房价×入住数量—支出)
问题三:等量关系中各数据关系是什么?
房价=180+涨价
入住数量=每涨10元空一间
支出=20入住数量
所有的变化,因房价的变化而来,那么房价是如何变化的呢?
引导学生使用表格,利用函数思想分析数据
涨价
10
20
30
……
10
空房数
1
2
3
……
入住数
49
48
47
……
50—
房价
180+10
180+20
180+30
……
180+10
(3)解题:
教师给出规范的解题过程,并说明解题思路。鼓励学生继续从图像角度去思考提出解法,突出数形结合求最大值的方法
(4)归纳
及时归纳得出解决二次函数最大值问题的步骤
三、总结提升
整个解题过程是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程。
归纳抽象二次函数实际问题
归纳抽象
二次函数
实际问题
性质图象目标
性质
图象
目标
实际问题的答案利用二次函数的图像和性质求解
实际问题的答案
利用二次函数的图像和性质求解
—16
—16
50
x
y
10
O
(设计意图:体现数形结合的思想,呼应前面解法中检验,达到盘旋上升的效果)
学生根据平时生活经验提出变式:
变式2 房价九折,则如何定价能达到最大值?
变式3 结账返回代金券20%,则如何定价能达到最大值?
变式4 “买十送一”每十人,免费一人,则如何定价能达到最大值?
学生分组讨论,提出自己的解答
四、自我评价
1、就像课程标准里说的:数学教育要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能。题目的解决体现了知识对日常生活的重大作用,学生对数学知识实用性的有更深一层认识。
2、题目的解决过程以一主线一支线展开
1实际问题
支线 定变量
支线
主线 等量关系
主线
2建立数学模型 列表
3、利用函数图像性质求解
4、实际问题的答案
主线用以突出重点(掌握解决实际问题的步骤),支线突破难点(从实际问题抽象出二次函数)
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