数学人教版九年级上册实际问题与二次函数——利润问题.doc

二次函数与实际问题 利润的最大化问题——教学设计 教学目标： 1、探究实际问题与二次函数的关系 2、让学生掌握用二次函数最值的性质解决最大值问题的方法 3、让学生充分感受实际情景与数学知识合理转化的过程，体会如何遇到问题—提出问题—解决问题的思考脉络。 教学重点： 探究利用二次函数的最大值性质解决实际问题的方法 教学难点： 如何将实际问题转化为二次函数的数学问题，并利用函数性质进行决策 教学过程 : 情境设置：水果店售某种水果，平均每天售出20千克，每千克售价60元，进价20元。经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量减少1千克；若每降价1元，日销售量将增加2千克。现商店为增加利润，扩大销售，尽量减少库存，决定采取适当措施。 （1）如果水果店日销水果要盈利1200元，那么每千克这种水果应涨价或降价多少元？ 解：设每千克这种水果降价x元。 （60-20-x）(20+2x)=1200 解得x=10或x =20 水果店扩大销售，尽量减少库存 x=10不合题意，舍 x=20 答：每千克这种水果应降价20元。 （2）如果水果店日销水果要盈利最多，应如何调价？最多获利多少元？ 设计：问题1是利用一元二次方程解决问题，引导学生先根据题意判断出应只选择降价，只是一种可能。通过分析“降价”让学生自主完成，教师点评，强调验根。因学生已经学习过一元二次方程，困难不会太大。 问题2，引导学生由一元二次方程过度到二次函数，并想到利用二次函数最值的性质去解决问题。给学生空间时间去思考。 老师问两个问题；1 怎样设？2什么方法去解决？ 解：设每千克这种水果降价x元。 y=（60-20-x）(20+2x) =-2 x2+60x+800 (0 x≤40) a=-20 y有最大值 当x= 15时，y最大 此时，y=1250 答：每千克应降价15元，使获利最多，最多可获利1250元。 得到答案后，学生自做帮学生梳理过程，并画图象，更深刻体会。易忽略自变取值范围。 小结：解决利润最大化问题的基本方法和步骤： 方法：二次函数思想 步骤1、设自变量 2、建立函数解析式 3、确定自变量取值范围 4、顶点公式求出最值 （在自变量取值范围内） 变式：若将题中“扩大销售，尽量减少库存”去掉，水果店应如何调价？ 解：分两种情况讨论： （1）设每千克这种水果降价x元。 y=（60-20-x）(20+2x) =-2 x2+60x+800 (0 x≤40) a=-20 y有最大值 当x =15时，y最大 此时，y=1250 答：每千克应降价15元，使获利最多，最多可获利1250元。 （2）设每千克这种水果应涨价x元 y=(60-20+x)(20-x) =-x2-20x+800 (0 x≤20) a=-10 y有最大值 x = -10 -100 当x -10 时，y随x增大而减小 当x=0时，y取最大值 此时y=800 由上述讨论可知：应每千克降价15元，获利最多，最多可获利为1250元。 让学生想到是二种可能，涨价和降价，得分类讨论思想，函数思想，数形结合思想。强调在自变量取值范围内取最值，如顶点不在这个范围，根据函数图象的增减性来判断，而且实际问题的图象不是整个的抛物线，而是局部，这取决于自变量取值范围。 学生自己整哩书写，教师指导。 练习与作业 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销售为y件。 （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？