数学人教版九年级上册实际问题与一元二次方程——平均增长率.doc

21.3实际问题与一元二次方程 教学目标 (1)会根据增长率与降低率问题中的等量关系列一元二次方程并求解,熟悉解题的具体步骤. (2)感悟“模型思想”和“转化”的数学思想,并能应用模型思想和转化思想,把实际问题抽象为一元二次方程. (3)培养观察、分析、探究、归纳及概括能力. 教学重点 如何解决增长率与降低率问题． 教学难点 解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x是增长（或降低）率，n为增长（或降低）的次数，b为增长（或降低）后的量． 教学过程 (一)创设情境 教师提问,上节课我们已经利用一元二次方程解决了“传播”问题,他的步骤有哪些?他与列元一次方程解决实际问题有哪些相同于不同之处？ 学生回忆、选一位同学作答,教师根据学生回答的情况加以补充,并将列方程解应用题的步骤“审、设、列、解、答”写在黑板上,强调“解”中的检验要符合实际,“审”是关键,让学生感受与“一元一次方程,一元二次方程解应用题的不同之处. 【设计意图】问题串给学生创设一个回忆思考的情境,是本课一种很自然的引入,为本课的探究活动做好铺垫. (二)引导探究 探究2：两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？ 学生读题并思考问题: 1.根据题目中的数量感知一下哪种药品的平均下降率较大？为什么？ 2.平均下降额与平均下降率有什么区别？分别怎样求解？ 3.本题中有哪些等量关系? ? ? 4.如何利用已知的等量关系选取适当的未知数并列易于解答的出方程? 5.方程的两个解如何检验？ 学生分析：根据题意，很容易知道甲种药品成本的年平均下降额为(5 000－3 000)÷2＝1 000（元）；乙种药品成本的年平均下降额为(6 000－3 600)÷2＝1 200（元）． 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．但是，年平均下降额（元）不等同于年平均下降率（百分数）． 教师给出下降率的定义，引导学生类比销售问题中的利润率得出下降率的公式，进而明确下降率与原成本新成本的关系。小组讨论后建立方程模型解决问题并汇报。 特别注意年平均下降率不能用总价率除以2. 解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5 000(1－x)2 元，于是有 5 000(1－x)2＝3 000． 解方程，得 x 1≈0.225，x2≈1.775． 根据药品的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%． 答：甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%． 【设计意图】问题1是帮助学生更好的理解题意,为后面的解题做铺垫.问题2.3.4.是活动1的中心环节,通过学生充分讨论,得到解题方案,激发学生的学习热情,培养学生思维的敏捷性、灵活性、深刻性. 合作交流 问题: 1.算一算：乙种药品成本的年平均下降率是多少？试比较这两种药品成本的年平均下降率． 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较对象的变化状况？ 这种增长率的问题有一定的模式，你发现了吗？ 学生运用已积累的解决问题1的经验求解。引导学生对比发现问题的结论，进而明确平均下降额与平均下降率两者兼顾才能全面比较对象的变化状况。 解：设乙种药品成本的年平均下降率为x，则一年后乙种药品成本为6 000(1－x)元，两年后甲种药品成本为6 000(1－x)2元，于是有 6 000(1－x)2＝3 600． 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775． 同理，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%． 甲、乙两种药品成本的年平均下降率相同，均约为22.5%． 教师组织学生运用已积累的解决问题1的经验归纳平均变化率的公式。并小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）． 【设计意图】.活动2的设置,首先使学生熟悉活动1的解题思想,用类比的思想做进一步的分析,然后就增长率的问题的模式作进一步探究归纳. 四、尝试应用 某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，三月份生产化工原料60万吨，求二、三月份平均增长的百分率？ 学生读题并思考问题: 1.本题中有哪些等量关系? ? ? 2.你想如何利用这些等量关系?怎样列方程? ?? ????师生活动:教师启发学生对比、思考活