数学人教版九年级上册构造圆巧解题.doc

中招动态探索性问题探究--构造圆 巧解题 安阳市第63中学 田广申 论文摘要：中招动态探索性题目，综合性、灵活性较强, 恰当地构造辅助圆,可使解决问题的思路更加清晰，化繁为简,可以巧妙的解决一些数学问题：一、根据“圆的定义”构造圆，探究等腰三角形存在性问题；二、根据“圆与圆的位置关系”与“圆内（外）角与圆周角的关系”构造圆探究三角形存在性问题；三、根据“圆周角的性质”构造圆探究直角三角形存在性问题；四、根据“圆周角的性质”构造圆，探究到两定点距离和最短问题及直角顶点移动路径问题；五、根据“四点共圆”构造圆，探究与三角形、四边形有关的线段、角的问题.对于动态探索性题目，要将每一个变化过程细节化，熟悉试题演变过程，注重试题变式变化，多思考，多归纳总结，运用“数形结合、分类讨论”等数学思想，使这类问题模型化，找到解决此类数学问题思考方式，提高学生分析、解决问题的能力. 关键词：动态探索性、构造圆、三角形存在性 中招题目最近几年不断涌现动态探索性题目，在解这些综合性、灵活性较强的数学问题时, 常会遇到一些用常规方法很难解决的问题，如果能找出问题的本质特征,结合圆的相关知识,恰当地构造辅助圆,可使解决问题的思路更加清晰，可使问题化难为易,化繁为简,可以巧妙解决一些数学问题.构造圆的基本方法有:①根据“圆的定义”构造圆;②根据“圆周角的性质”构造圆;③根据“圆与圆的位置关系”构造圆；④根据“四点共圆”构造圆；⑤根据“两圆相切的性质”；⑥ 根据“圆内（外）角与圆周角的关系”构造圆.下面以部分中考中问题为例加以阐述. 一、根据“圆的定义”构造圆，探究等腰三角形存在性问题： 1、对于在已知的线上找点构成等腰三角形的问题，构造出符合题意特征的圆，能迅速找出构成等腰三角形的顶点. 例如：在平面直角坐标系中，A（4,0），O为原点，求直线上一点P，使△AOP为等腰三角形，这样的点P有几个？ 如图：分别以点O、B为圆心，OA为半径作圆，与直线相交，易求得点P有4个位置；作OA的垂直平分线与直线相交易求得点P有1个位置，所以共有5个点. 两定点、一动点的等腰三角形存在性问题可归纳为： “两圆一线找顶点，不重不漏能找全”. 2、根据“圆的定义”构造圆，然后利用圆的性质解决问题： 例如：如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝°，∠ECD＝°，⊙B的半径为R，则弧DE的长度是（ ） A． B． C． D． 答案：B 解析：由切线长定理易知：PE＝PD＝PC，以点P为圆心PE为半径构造圆， ∵∠ECD＝°∴∠DPE＝2° ∴∠B＝（180－2y）° ∴弧DE的长为：＝ 可归纳为：“等长线段共端点，条件放在圆里面”. 二、根据“圆与圆的位置关系”与“圆内（外）角与圆周角的关系”构造圆探究三角形存在性问题： 利用“两圆相交时圆心距与两圆半径和、半径差的关系”构造圆，可以解决三角形第三边取值范围问题. 例如：已知△ABC两边长分别是1、2，第三边长为x，则x的取值范围是： . 变式（1）：若△ABC为等腰三角形，则x的值为： . 变式（2）：若△ABC为直角三角形，则x的值为： . 变式（3）：若△ABC为锐角三角形，则x的取值范围是： . 变式（4）：若△ABC为钝角三角形，则x的取值范围是： . 易求得：1x3；变式（1）：x=2；变式（2）：x=或x= 变式（2）～变式（4）问题可以构造两个辅助圆分析解答，如图： 在△ABC中，AB=2，BC=1，点O是BC中点，分别以点O、B为圆心，1为半径作圆，两圆相交于点F,⊙B与AB的延长线相交于点E，过点B作BD⊥AB于⊙B交与点D. 当点C与点F、D重合时，△ABC是直角三角形，此时x=或x=； 当点C在上移动（不与点F、D重合）时，△ABC是锐角三角形，此时x； 当点C在或上移动（不与点O、F、D、E重合）时，△ABC是钝角三角形，此时1x或x3. 三角形存在性问题可归纳为： “三角放在圆当中，圆里圆外角不同”. 三、根据“圆周角的性质”构造圆，探究直角三角形存在性问题: 1. 两定点、一动点直角三角形存在性问题： 例如：（2013安阳一模23题）、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图像与直线y＝－x＋3交于A、B两，且点A在y轴上，点B的坐标是(4，1)。 ⑴ 求抛物线的函数解析式； ⑵ 过点A作AC⊥AB交x轴于点C. ①求点C的坐标； ②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，求出此时PA＋PC的值，若不存在，说明理由； ③除点C外，