数学人教版九年级上册实际问题和二次函数.doc

26.3实际问题与二次函数(2) 第2课时 教学目标 知识与技能 能从实际问题中分析、找出变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的图象和性质求出实际问题的答案。 过程与方法 通过探索“计算机中的二次函数问题”过程，体会“建立二次函数模型”是解决实际问题中的最优化问题的数学模型，并获得解决问题的经验。 情感态度与价值观 在活动与交流中体会小组合作共有利于探究数学知识，能熟练利用二次函数知识求解计算机中磁盘的最大存储量等问题。 教学重点难点 重点 几何关系的分析，体会二次函数这一模型的意义。 难点 如何建二次函数模型，利用它解决实际问题。 教与学设计 创设情境 导入新课 导语一 在周长为一定值（6米）情况下，如何设计窗户，使其面积最大？引入即可。 导语二 出示磁盘，介绍磁盘，磁盘的容量怎样设计最大最合理呢？ 导语三 我们可以利用二次函数来解决最大利润问题，了解到二次函数的意义，它还可以解决哪些问题呢？ 合作交流 解读探究 [探究]（教材P26探究2） [学生自主探究]阅读教材、思考教材中3个问题，相与交流，探讨答案。 [师生共同解答] （1）磁盘最内磁道的周长为2πr mm，它上面的存储单元的个数不超过． 理由：周长不是弧长O．015 mm的整数倍。 (2)由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3 mm，所以这张磁盘最多有 条蠢越(观察磁道的位置可理解) (3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，设磁盘每面存储量为y，则 y=， 即y=（45r-r2）(0r45)。 当r=时，y最大值=225000π。 也就是说当r=mm时，磁盘的存储量最大． 【点评】此问题实质是一个几何问题，周长与弧长间，圆周的个数与半径之问的关系。 最后才利用二次函数求其最大值问题． (三) 应用迁移 巩固提高 类型之一 几何图形的面积与二次函数 例1某建筑的窗户如图26—3—5所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形。制造窗框的材料总长为15 m(图中所有线条长度之和)，当x等于多少时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01 m)? 此时，窗户的面积是多少? I解析】①窗户通过的光线最多实际上是要求窗户的面积尽可能大． ②图中y的长度可求，由4y+7x+πx =15得y= ③窗户的面积为Sm 2,则S=πx2+2x·= -3.5x2+ x。 对于S关于#的二次函数，可用顶点坐标公式确定其相应最大值， 即当x=-（m）时。 S最大= 解：由题意可知 4y+·2π·x+7 x=15， 化简得y=。 设窗户的面积为Sm2，则 S=πx2+2 x· =-3.5x2+ x。 因为a=-3.50，所以S有最大值。 所以当x= -时，S最大= 即当x=1.07m时．窗户通过的光线最多， 此时，窗户的面积是4.02m 【点评】此题较复杂，特别要注意①中间线段用x的代数式来表示．要充分利用几何 关系．②要注意顶点的横坐标是否在自变量x的取值范围内。 变式题 小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环 境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃 的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为l米的通道及在左 右花圃各放一个l米宽的门(如图26—3—6所示)．花圃的宽AD究竟应为多少米才能使 花圃的面积最大? 解：设AD=x。则AB=32一4x+3=35一4x， 从而花圃的面积s=x(35—4x)一x×1= —4x2+34x， 因为AB≤1035-4x≤10，所以 x≥6.25． S=一4 x2+34x．对称轴x=4.25．开口向下． 所以 当x≥4.25时s随x的增大而减小．是减函数． 故当x=6．25米时。S取最大值56．25米。． 【注意】此题要结合函数图象求解，顶点不在取在范围内． 类型之二 几何图形的分割与二次函数 例2 如图26—3—7．从一张矩形纸较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE．要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处?为什么? 【解析】将DE的长设为x，两正方形的面积和为y。寻找出y与x间的函数关系．再求解． 解：不妨设矩形纸较短边长为a，设DE=x，刖AE= a-x。 那么两个正方形的面积和y为y=x2+（a-x）2=2x2-2ax+a2。 当x= - = 时，y最小值=2×（）2-2a·+ a2= 2。 即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小． 【点评】此题关键是充分利用几何关系建立二次函数模型，再利用二次函数性质求解。 (四)总结反思拓展升