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初中数学教案设计
[科 目] 数学
[年 级] 初三
[授课人] 毛卉
[章 节] 和圆有关的比例线
[课 时] 2 课时
[内 容]
教学目标
1.使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系,并能综合运用它们解决有关问题;
2.通过对例题的分析,提高学生分析问题和解决问题的能力,并领悟添加辅助线的方法;
3.从运动的观点来统一认识圆幂定理.对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的观点的教育.
教学重点和难点
相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点;灵活运用圆幂定理解题是难点.
教学过程设计
一、从学生原有的认知结构提出问题
1.根据图1(1)、(2)、(3),让学生结合图形,说出相交弦定理、切割线定理、割线定理的内容.
2.然后提出问题.相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联系?
【 提出问题让学生思考,在学生回答的基础上,教师用电脑或投影演示图形的变化过程,从相交弦定理出发,用运动的观点来统一认识定理.】
(1)如图2(1),⊙O的两条弦AB,CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD.这便是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例:
一是如果圆内的两条弦交于圆心O,则有PA=PB=PC=PD=圆的半径R,此时AB,CD是直径,相交弦定理当然成立.(如图2(2))
二是当P点逐渐远离圆心O,运动到圆上时,点P和B,D重合,这时PB=PD=O,仍然有PA·PB=PC·PD=O,相交弦定理仍然成立.(图2(3))
(2)点P继续运动,运动到圆外时,两弦的延长线交于圆外一点P,成为两条割线,则有PA·PB=PC·PD,这就是我们学过的切割线定理的推论(割线定理).(图3)
(3)在图3中,如果将割线PDC按箭头所示方向绕P点旋转,使C,D两点在圆上逐渐靠近,以至合为一点C,割线PCD变成切线PC.这时有PA·PB=PC·PD=PC2,这就是我们学过的切割线定理.(图4)
(4)如果割线PAB也绕P点向外旋转的话,也会成为一条切线PA.这时应有PA2=PB2,可得PA=PB,这就是我们学过的切线长定理.(图5)
至此,通过点的运动及线的运动变化,我们发现,相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着密切的联系.
3.启发学生理解定理的实质.
经过一定点P作圆的弦或割线或切线,如图6.
观察图6,可以得出:(设⊙O半径为R)
在图6-(1)中,PA·PB=PC·PD=PE·PF
=(R-OP)(R+OP)
=R2-OP2;
在图6-(2)中,PA·PB=PT2=OP2-OT2=OP2-R2
在图6-(3)中,PA·PB=PC·PD=PT2=OP2-R2.
【教师指出】由于PA·PB均等于|OP2-R2|,为一常数,叫做点P关于⊙O的幂,所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.
二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行)
例1 如图7,两个以O为圆心的同心圆,AB切大圆于B,AC切小圆于C,交大圆于D,E,AB=12,AO=15,AD=8,求两圆的半径.
分析:结合图形和已知条件,根据勾股定理容易求出大圆的半径OB.求OC也可考虑用上述方法,但AC未知,此时则可根据切割线定理先求出AE,再利用垂径定理便可求出AC,于是问题得解.
(由学生讨论、分析,得出解决)
例2 如图8,在以O为圆心的两个同心圆中,A,B是大圆上任意两点,过A,B作小圆的割线AXY和BPQ.
求证:AX·AY=BP·BQ
分析:在平面几何比较复杂的图形中,往往都是由几个简单的图形组合而成的.但本题不直接含有这样的图形,我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形,以此为出发点,师生共同探索,得出以下几种不同的辅助线的添法.
方法1 在图9-(1)中,过点A,B分别作小圆的切线AC,BD,C,D为切点.这时就出现了切割线定理的基本图形,于是有
AC2=AX·AY,BD2=BP·BQ.
再连结CO,AO,DO,BO,
易证Rt△AOC≌△Rt△BOD,得出AC=BD
所以AX·AY=BP·BQ.
方法2 在图9-(2)中,作直线XP交大圆于E,F,分别延长AY,BQ,交大圆于C,D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有
AX·XC=EX·X
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