数学人教版九年级上册探讨二次函数中的三角形问题.doc

数学教学案例 压轴好“戏” ---“探讨二次函数中的三角形问题”教学实录及反思 作者单位：湖南省长沙市岳麓区双枫中学 作 者：王清明 电 话邮 箱：wqm8092@ 压轴好“戏” ---“探讨二次函数中的三角形问题”教学实录及反思 长沙市岳麓区双枫中学 王清明 教学内容：初三中考 “函数”复习课。 教学目标：1、知识与技能目标： = 1 \* GB2 ⑴会根据二次函数提供的信息，较快求出解析式、顶点坐标、与坐标轴的交点坐标； = 2 \* GB2 ⑵掌握在二次函数图象中求出特殊三角形面积的方法； = 3 \* GB2 ⑶能从图象中提供的信息正确地“读解”图象中更多的有效信息； = 4 \* GB2 ⑷利用二次函数图象中的三角形相似，或直线平移求出符合条件的直线与抛物线的交点坐标。 2、过程与方法目标： = 1 \* GB2 ⑴、通过对二次函数图象的分析探讨，体会到图象中几个特殊点的坐标在解决三角形问题中的重要性； = 2 \* GB2 ⑵、通过对二次函数图象中三角形问题的探讨，体会到数形结合的数学思想在解决函数问题中的重要性和优越性。 3、情感态度和价值观目标： = 1 \* GB2 ⑴、通过对二次函数中三角形问题的探讨学习，渗透数形结合的教学思想，构建“数想形”“形思数”的数学思维方式和意识； = 2 \* GB2 ⑵、通过对具体数学问题的解决方法的探讨，让学生学会学习，从而形成团队合作的精神。 教学重点：根据二次函数的图象或解析式求出特殊三角形的面积；或利用三角形相似、全等，或通过平移等知识求出符合条件的直线与函数图象的点的坐标。 教学难点：在二次函数图象中，利用三角形相似或通过直线的平移，求出符合条件的直线与抛物线的公共点的坐标。 教学过程： 一、激思导学，引出课题 师：同学们，请观察图1，你认为在这个图象中，哪几个点较为特殊？ 生1：点A、点B、点C、点O、点D。 师：为什么你会认为这些点较特殊呢？ 生1：这些点分别是坐标原点、二次函数图象的 顶点、以及图象与坐标轴的交点。 师：将这些点作为三角形的顶点，可构成哪些三角形？ 生2：可构成△ABC、△BCD、△ABD、△AOD、△BOD…… （见图2） 图1 师：我们知道，三角形是最基本的几何图形，三角形问题也是最常见的数学问题，今天，我们就来探讨二次函数中的三角形问题（多媒体出示课题）。 二、典例精析，探究释疑 师：首先，我想就刚才出示的这个二次函数的图象提几个问题，不知同学们有没有信心来解决？ （学生齐声回答：有！）。 图2 师：请你们根据图象中所提供的信息，说出A、B、D、C四点的坐标。 （学生纷纷动笔求解……）。 生2：这四点的坐标分别是：A（-1，0）、B（4，0）、C（3/2，-25/4）、D（0，-4）。 师：很不错！完全正确。那现在请同学们求出这个三角形的面积，要说出你是怎么进行计算的。 生3：△ABC的面积为：1/2·AB·CE =125/8。 师：答得非常好！师：如果将问题改成求△BCD的面积，可以怎么进行求解？（学生思考……）。 师：（良久没有学生回答）同学们可否由求△ABC的面积有所启示？ 生：…… 图3 生4：可将CD延长，与X轴交于G，然后用△GCB的面积减去△GDB的面积，就可得到△BCD的面积。 生5：我还有一种方法，设二次函数图象的对称轴与BD相交于F，分别求出△DFC与△BFC的面积，它们之和就是△BCD的面积。 生6：还可将BC延长，使之与Y轴交于点M，然后用△BDM的面积减去△DCM的面积即可。（教师根据学生的讲述在图象上添加了相应的字母。见图3） 师：太棒了，能谈谈你们这样设想的原因吗？ 生6：构造新的三角形，使其中一边落在坐标轴上，这样便于求出三角形的底边和高，进而求出三角形的面积。 师：李于同学摸索出了一套在坐标平面内求三角形面积的方法，我相信很多同学都和他一样，找到了在坐标系中求三角形面积的捷径。 师：同学们，学习数学就要这样，要能积极思考，善于发现问题中题设与结论之间的联系；在变化中发现规律。比如，这个问题到这里可以进行变式：（以上我们可以通过求得三角形的底和高来计算出三角形的面积）就利用这个二次函数的图象（此函数的解析式已求得为y＝x2-3x-4），在图象上是否存在点Ｐ，使△ABP的面积为15，如若存在，求出点Ｐ的坐标；如不存在，则说明理由。 （教师将学生推向探究问题的