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21.3.2 平均变化率问题与一元二次方程
学 习
目 标
1、会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解。
2、能根据问题的实际意义,检验所得结果是否合理。
3、进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键。
学习重点
如何解决增长率与降低率问题。
学习难点
解决增长率与降低率问题的公式a(1±x)n=b,其中a是原有量,x为增长(或降低)率,n为增长(或降低)的次数,b为增长(或降低)后的量。
教 学 互 动 设 计
设计意图
一、自主学习 感受新知
【问题】某商店10月份的营业额为5000元,12月份上升到7200元,平均每月增长百分率是多少?
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x,则
11月份的营业额为5000(1+x)元,
12月份的营业额为5000(1+x)(1+x)元,即5000(1+x)2元。
由此就可列方程:5000(1+x)2=7200
【说明】此例是增长率问题,如题目无特别说明,一般都指平均增长率,增长率是增长数与基准数的比。
增长率=增长数∶基准数
设基准数为a,增长率为x,
则一月(或一年)后产量为a(1+x);
二月(或二年)后产量为a(1+x)2;
n月(或n年)后产量为a(1+x)n;
如果已知n月(n年)后总产量为M,则有下面等式:
M=a(1+x)n
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。
二、自主应用 巩固新知
【例1】两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大?
【分析】⑴甲种药品成本的年平均下降额为 (5000-3000)÷2=1000(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大。但是,年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。
⑵若设甲种药品平均下降率为x,则一年后,甲种药品的成本下降了
元,此时成本为 元;两年后,甲种药品下降了 元,此时成本为 元。
⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为:
解这个方程得:
甲种药品成本的年平均下降率为 。
⑷同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
⑸思考经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的下降率一定也较大吗?应怎样全面地比较几个对象的变化状况?
【说明】经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格。
【例2】某人将2000元人民币按一年定期存入银行,到期后支取1000元用于购物,剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行,若存款的利率不变,到期后本金和利息共1320元,求这种存款方式的年利率.
【分析】设这种存款方式的年利率为x,第一次存2000元取1000元,剩下的本金和利息是1000+2000x·80%;第二次存,本金就变为1000+2000x·80%,其它依此类推.
解:设这种存款方式的年利率为x
则:1000+2000x·80%+(1000+2000x·8%)x·80%=1320
整理,得:1280x2+800x+1600x=320,即8x2+15x-2=0
解得:x1=-2(不符,舍去),x2==0.125=12.5%
答:所求的年利率是12.5%.
三、自主总结 拓展新知
1、列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
2、若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:(常见n=2)。
四、课堂作业 课本对应练习
教学理念/教学反思
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