数学人教版九年级上册抛物线与面积问题.doc

抛物线与面积问题 执教：甘棠中学 王建龙 一、基础回顾： 1、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（-1，1），B（2，0），C（4，2），求△ABC的面积。 分析：分别过A、C作x轴的垂线，转化为 梯形与三角形的面积的差求解。 2、过△ABC的的顶点A作BC的平行线MN，在直线MN上任取点P，与有何数量关系？设PC交AB于O，图中还有面积相等的三角形吗？反过来，如果已知=或=，能判断直线MN与直线BC的数量关系吗？ 分析：分别过P、A作BC的垂线，与共底等高，故面积相等。同时减去，则=； 反过来也成立。 归纳： ①求坐标系内图形的面积，通常过其顶点作坐标轴的垂线，转化为直角三角形和直角梯形的面积的和或差来求解； ②根据平行线间的距离处处相等，可以过某一顶点作某一边的平行线，将其转化为与之同底等高的三角形来求解。 二、考点迁移： 例1：如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，在第二象限的抛物线上是否存在点P，使=4？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由。 分析： 解法一： 作PM⊥x轴于点M，=+- 设P的坐标，列方程求解。 解法二： 过P作PM∥AC交x轴于M，则=，由此得M的坐标，进而求出PM的解析式，与抛物线联立求解。 例2：如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，P是第二象限抛物线上一点，作PF⊥x轴于点F，交AC于点E，若：=2：3，求点P的坐标。 分析： 设P的坐标，表示E的坐标，利用两三角形共高，将面积的比转化为底（即PE与EF）的比，进而列方程求解。 例3：如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，P是第一象限的抛物线上一点，PC交x轴于点H； （1）若=2，求点P的坐标； （2）若=，求点P的坐标。 三、课堂小结： 求与三角形面积有关的抛物线上点的坐标，通常有以下两种方法： ①过该点向坐标轴作垂线，设出该点的坐标，将坐标转化为垂线段的长，运用有关面积的条件列方程求解； ②将面积的关系转化为线段或坐标的关系，进而先求出过该点的某直线的解析式，再将其与抛物线的解析式联立成方程组求解。 四、课后练习： 1、如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，点P在第一象限的抛物线上且在其对称轴的右边，=4，求点P的坐标。 2、如图，抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，其顶点为K，在其对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PKA的面积是△PKC的面积的3倍？若存在，求P的坐标；若不存在，说明理由。