微积分初步近几年函数应用题试题.docVIP

PAGE PAGE 1 一、欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ （07年1月） 解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为 于是 =3 令求出一个唯一的驻点（舍去） （10分） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边 长为12米，另一边长为18米时用料最省。 （6分 ） 二、欲做一个底为正方形、容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做用料最省？（07年7月、10年7月） 解：设容器底边的边长为，高为h，用材料为, 于是： (10分) 而该问题确实存在最小值，所以当容器的底边长为6米，高为3米时用料最省。 （ 6分） 三、设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体，试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体得体积最大。（08年1月试题） 解： x+y≤60 四、用钢板焊接一个容积为4立方米的正方形水池，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费用最低？最低费用是多少？（08年7月试题） 解：设水池底边的边长为，高为h，用材料为, 于是： （ 10分） 而该问题确实存在最小值，所以当水池的底边长为2米，高为1米时费用最低，且最低费用为：（2×2+8）×10+40=160元。 （6分） 五、欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ （09年1月、10年1月） 解：设底边的边长为，高为，用材料为， 由已知 令，解得是唯一的驻点 （ 10分） 而该问题确实存在最小值，此时有，所以当，时用料最省． （6分） 六、某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？（09年7月） 解：设容器底半径为r，高为h，则其表面积为： ， 令 求出一个唯一的驻点。 （10分） 而该问题确实存在最小值，所以由实际问题知，当容器半径为，高为时用料最省。（6分） 七、欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，问怎样做法用料最省？ (2010年1月) 解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知， 令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省． 八、欲做一个底为正方形、容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做用料最省？ （2010年7月） 解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知 令，解得是唯一驻点， 且， 说明是函数的极小值点，所以当，时用料最省。 九、欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 　解：设底边的边长为，高为，容器的表面积为，由已知， 令，解得是唯一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省． 十、用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有 所以 令，得， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱表面积最小. 此时的费用为 （元） 十一、某厂要生产一种体积为V的无盖圆柱形铁桶，问怎样才能使用料最省？ 解：底半径，高 十二、设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。 解：设矩形的边长分别为（厘米），则有 又旋转成的圆柱体的体积为 求导得 令得舍去）。 ，说明是极大值点，故当厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大