DSP课程设计——FFT的DSP实现.docx

PAGE \* MERGEFORMAT 9 FFT的DSP实现 简介：快速傅里叶变换是一种高效实现离散傅里叶变换的的快速算法 ，是数字信号处理中最为重要的工具之一，它在声学、语音、电信和信号处理等领域有着广泛的应用。 一．设计目的: 1.加深对DFT算法原理和基本性质的理解； 2.熟悉FFT的算法原理和FFT子程序的算法流程和应用； 3.学习用FFT对连续信号和时域信号进行频谱分析的方法； 4.学习DSP中FFT的设计和编程思想； 5.学习使用CCS的波形观察窗口观察信号波形和频谱情况。 二．设计内容: 用DSP汇编语言及C语言进行编程，实现FFT运算，对输入信号进行频谱分析。 三．设计原理: 1． 离散傅里叶变换DFT: 对于长度为N的有限长序列x(n)，它的离散傅里叶变换（DFT）为 X(k)= N-nk ,k=0,1,2……N-1 （1） 式中，WN=e-j*2π/N ，称为旋转因子或蝶形因子。 从DFT的定义可以看出，在x(n)为复数序列的情况下，对某个k值，直接按（1）式计算X(k) 只需要N次复数乘法和（N-1）次复数加法。因此，对所有N个k值，共需要N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。对于一些相当大有N值（如1024点）来说，直接计算它的DFT所需要的计算量是很大的，因此DFT运算的应用受到了很大的限制。 2．快速傅里叶变换FFT 旋转因子WN 有如下的特性。 对称性： WNk+N/2=-WNk 周期性：WNn(N-k)=WNk(N-n)=WN-nk 利用这些特性，既可以使DFT中有些项合并，减少了乘法积项，又可以将长序列的DFT分解成几个短序列的DFT。FFT就是利用了旋转因子的对称性和周期性来减少运算量的。 FFT的算法是将长序列的DFT分解成短序列的DFT。例如：N为偶数时，先将N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，使复数乘法减少一半：再将每个N/2点的DFT分解成N/4点的DFT，使复数乘又减少一半，继续进行分解可以大大减少计算量。最小变换的点数称为基数，对于基数为2的FFT算法，它的最小变换是2点DFT。 一般而言，FFT算法分为按时间抽取的FFT（DIT　ＦＦＴ）和按频率抽取的ＦＦＴ（DIF FFT）两大类。ＤIF FFT算法是在时域内将每一级输入序列依次按奇／偶分成２个短序列进行计算。而DIF FFT算法是在频域内将每一级输入序列依次奇／偶分成２个短序列进行计算。两者的区别是旋转因子出现的位置不同，得算法是一样的。在DIF FFT算法中，旋转因子WN 假定序列x(n)的点数N是2的幂，按照DIF FFT算法可将其分为偶序列和奇序列。 偶序列：x(2r)=x1(r) 奇序列：x(2r+1)=x2(r) 其中：r=0,1,2,…,N/2-1 则x(n)的DFT表示为 X = = = 式中，x1(k)和x2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2的DFT 式中，x1(k)和x2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2的DFT。 由于对称性，WNk+N/2=-WNk。因此，N点DFT可分为两部分： 前半部分：x(k)=x1(k)+WkNx2(k) k=0,1,…,N/2-1 （4） 后半部分：x(N/2+k)=x1(k)-WkNx2(k) k=0,1,…,N/2-1 （5） 从式（4）和式（5）可以看出，只要求出0~N/2-1区间x1(k)和x2(k)的值，就可求出0~N-1区间x(k)的N点值。 以同样的方式进行抽取，可以求得N/4点的DFT，重复抽取过程，就可以使N点的DFT用上组2点的 DFT来计算，这样就可以大减少运算量。 基2 DIF FFT的蝶形运算如图(a)所示。设蝶形输入为X1(K)和X2((K)，输出为x(k)和x(N/2+K)，则有 x(k)=x1(k)+WkNx2(k) （6） x(N/2+k)=x1(k)-WkNx2(k) （7） 在基数为2的FFT中，设N=2M 图(a) 基2 DIF FFT的蝶形运算 例如：基数为2的FFT，当N=8时，共需要3级，12个基2 DIT FFT的蝶形运算。其信号流程如图(b)所示。 x(0) x(0) WN0 x(4) x(1) -1 WN0 x(2)