双曲线及其标准规范方程教案.docVIP

2.3.1 双曲线及其标准方程导学案 一．学习目标 1．理解双曲线的定义。了解并建立双曲线的标准方程，确定双曲线的标准方程。 2．重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。 3．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；通过小组学习，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索的精神。 二．教学重点、难点 重点：双曲线的定义及其标准方程。 难点：双曲线标准方程的建立过程及推导。 【旧知复习】 圆锥曲线中椭圆的定义及其标准方程。 椭圆标准方程的推导方法及过程。 【新知探究】 探究一、平面内与两个定点、的距离的和等于非零常数(大于)的点的轨 迹叫做椭圆。思考平面内这平面内与两个定点、的距离的差等于非零常数的点的轨迹又是什么曲线？ F2F1MF1F2M利用课件来演示得到满足这样条件的曲线：点M到两定点F1和F2 F2 F1 M F1 F2 M |MF1|-|MF2|=—2a |MF1|-|MF2|=2a 类比椭圆的定义，写出双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 数学简记：（） 探究二、1、双曲线定义中的条件“非零常数2(小于)”去掉后，点的轨迹有是什么曲线呢？ 当 2=0时，轨迹是线段的垂直平分线. 当2﹤2时，轨迹是双曲线 当2=2 时，轨迹是以、为端点的反向的两条射线 当2﹥2时， 轨迹不存在 2、双曲线定义中的关键词“绝对值”能否去掉，去掉后结果怎样？ 定义中“差的绝对值”中“绝对值”去掉，点的轨迹为双曲线的一支.当时，曲线仅表示与焦点所对应的一支；时，曲线仅表示与焦点所对应的一支. 探究三、类比椭圆标准方程的建立及推导过程，试推导双曲线的标准方程？ 第一步：建立直角坐标系；以两定点、所在直线为轴，的中垂线为轴建立坐标系. 第二步：设点：设动点是双曲线上任意一点，设，则，，又设与、的距离的差的绝对值等于. 第三步：启发学生根据定义写出M点的轨迹构成的点集： ； 第四步：建立方程： 第五步：化简， ， 令（），得，即 得到 我们得到了焦点在x轴上，且焦点是和的双曲线标准方程为，这里 以所在的直线为轴，的中垂线为轴建系，那么得到焦点在y轴上即，为焦点的双曲线标准方程为（其中，，）. 【思考】椭圆与双曲线标准方程的区别？ 名 称 椭 圆 双 曲 线 图 象 定 义 平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即 标准方 程 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： 注：是根据项的正负来判断焦点所 在的位置 常数的关 系 （符合勾股定理的结构） ， 最大， （符合勾股定理的结构） 最大，可以 例题讲解 【例1】已知双曲线两个焦点的坐标为、，双曲线上一点P到、的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。 解：因为双曲线的焦点再x轴上，所以设它的标准方程为 ， 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 所以， 所以所求双曲线的标准方程为。 【变式】已知两个定点的坐标为、，动点P到、的距离的差等于6，求P点的轨迹方程。 解：因为，所以P的轨迹是双曲线的右支，设双曲线标准方程为， 因为2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。 所以， 所以所求P点的轨迹方程为 例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. 【自测题目】 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在轴上，，. （2）焦点在轴上，经过点，. （3）焦点为，，且经过点. 解：（1）；（2）（3）. 【练习1】已知方程 表示双曲线，则m的取值范围是_________，此时双曲线的焦点坐标是________________，焦距是________________； 【变式】若将9改成，则m的取值范围是_____。 解：当方程表示双曲线时，，解得或. 【练习2】双曲线上一点到焦点的距离为15，那么该点到另一个焦点的距