5.3 实对称矩阵的正交相似对角化.pptVIP

5.3实对称矩阵的正交相似对角化 黄凤英 主要内容 实对称矩阵的性质 实对称矩阵相似对角化的步骤 5.3 实对称矩阵的正交相似对角化 举例 而有的就不能找到 n 个线性无关的特征向量. 上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条 件: n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个 线性无关的特征向量. 通过前面的学习我们知道, 有的 n 阶方阵能找到 n 个线性无关的特征向量, 一、问题的提出 因此，并不是所有的矩阵一定可对角化. 然而实 对称矩阵是必可对角化的一类矩阵，而且一定 能找到一个正交矩阵Q，使 Q-1AQ = ?. 性质 1 对称矩阵的特征值为实数. 二、实对称矩阵的性质 正交. 性质 2 设 ?1 , ?2 是对称矩阵 A 的两个特征值 p1 , p2 是对应的特征向量, 若 ?1 ? ?2 , 则 p1 , p2 定理 设 A 为 n 阶对称矩阵, 则必有正交矩阵 Q， 使 Q-1AQ = ? , 其中 ? 是以 A 的 n 个特征值为对角 元素的对角矩阵. 性质 3 设 A 为 n 阶对称矩阵, ? 是 A 的特征方 程的 k 重根, 则方程组( A - ?E) x = 0 有 k 个基础 解系，即矩阵A - ?E的秩R(A - ?E )=n-k. n1 + n2 + ··· + ns = n. 步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A 有 s 个不同的特征值 ?1 , ?2 , ··· , ?s ，它们的重 数分别为 n1 , n2 , ··· , ns , 三、对称矩阵对角化的步骤 步骤 2 : 对 A 的每个特征值 ?i ,求(A - ?i E)x=0 的基础解系, 设为 ( i = 1, 2, ··· , s). 以这些向量为列构 并把它们正交化、单位化，记为 造正交矩阵 Q，即 且 Q-1AQ = ? 其中 ( A 的特征值 ) 之间的对应关系. 要注意矩阵 Q的列与对角矩 阵 ? 主对角线上的元素 例 1 设 求正交矩阵 Q , 使 Q-1AQ 为对角矩阵. 四、举例 第一步 求 A 的特征值 解之得基础解系 将 ?1 , ?2 正交化：令 将 ?1 , ?2 单位化得： 第三步 将特征向量正交化 第四步 再单位化 求得基础解系 将 ?3 单位化得 则有 第五步 构造正交矩阵Q，并写出对角阵? 解 例2 求出正交矩阵 ，使 为对角阵. 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 例 3 设2阶实对称矩阵 A的特征值为1 ,2, 且特征值 1 对应的一个特征向量为 （1）求特征值 2 对应的特征向量 （2）求矩阵A 例 4 求一个三阶实对称矩阵 A, 它的特征 且特征值 6 对应的一个特征向量为 值为 6 , 3 , 3, 5.3实对称矩阵的正交相似对角化 黄凤英