机器人技术学习课件.ppt

系数 D 的物理意义： —关节 的有效惯量（等效转动惯量的概念）。由关节 处的加速度 引起的关节 处的力矩为 （ ） —关节 和 之间的耦合惯量 。由关节 或 的加速度 （ 或 ）所引起的关节 和 处的力矩为 或 —向心力项系数。表示关节 处的速度作用在关节 处的 向心力（ ） —向心力项系数。表示关节 处的速度作用在本身关节处 的向心力（ ） 四、动力学方程中各系数的物理意义 将前面结果重新写成简单的形式 ： . —哥氏力项系数。 两项组合为关节 与 处的速度作用在关节 处的哥氏力，哥氏力是由于 牵连运动是转动造成的。 —关节 处的重力项 。重力项只与 大小、长度 以 及机构的结构图形（ ）有关。 比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到 有效惯量系数： 耦合惯量系数： . 向心力项系数： 哥氏力项系数： 重力项： . 6.4 机器人的拉格朗日方程的一般表达形式 从上节容易看出Lagrange方程是一个二阶耦合、非线性和微分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然后再加入关节处驱动装置（如电机、码盘等）的影响。 推导分五步进行： 一、计算任意任意杆件上任意点的速度； 二、计算动能 ； 三、计算势能 ； 四、形成Lagrange函数； 五、建立动力学方程 。 . 其速度为： 一、点的速度 由于整个系统的动能都是在基础系中考虑的，故需求系统各质点在基础坐标系中的速度 。 对于杆 坐标系中的一点 ，它在基础坐标系中的位置为 式中 —变换矩阵 速度平方为： 式中 —矩阵的迹，即矩阵主对角元素之和。 . 二、动能 位于杆 上 处质量为 的质点的动能是： . 则杆 的动能（在基础坐标系中）为： 令式中 称为连杆 的伪惯量矩阵。 则得到杆 的动能为： 对于杆 上任意一点的 （在杆 坐标系中）可以表示为： . 根据理论力学中惯性矩、惯性积和静矩的定义，引入下列记号： 对坐标轴的惯性矩： 则有： . 对坐标轴的惯性积： 对坐标轴的静矩： 质量之和： 于是： x z y r . 同理： 于是 能够表达为： 机器人臂杆总的动能是： . 如果考虑到关节处驱动装置的动能： 调换求迹与求和运算顺序，并加入关节处驱动装置的动能，得到机器人总的动能为： （对于移动关节： ） 式中 为关节 处驱动装置的转动惯量。 三、势能 设杆 的质心在再其自身坐标系的位置向量为 ，则它在基础坐标系中的位置向量 为 . 设重力加速度 在基础坐标系中的齐次分量为： 于是机器人的总势能为： 则杆在基础坐标系中的势能为： （一般认为基础坐标系的 z 轴取向上方） . 先求拉格朗日方程中的各项： 四、拉格朗日函数 五、动力学方程 （1 ) . 由于 是对称矩阵，则有： 合并(a)式中前两项，得到： （1’) 当 时， 中不包含 以后关节变量，即： 于是可得： . （2 ) 交换其中的部分哑元，得到： . （3 ) . 将以上各项带入拉格朗日公式，并用 和 分别代替上式中的哑元 和 ，得到： 上式为拉格朗日方程的最后形式。这些方程与求和的次序无关，因此可将上式写为简化形式： （5 ) （4 ) . 式中： 以上的动力学方程 (5)中系数 D的意义与上节所列相同，即分别为有效惯量项系数( ),耦合惯量项系数（ ），向心力项系数（ ），哥氏力项系数（ ），重力项等。 . 动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制重特别重要，将直接系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较大，对系统动态特性的影响也不可忽略。 在机器人动力学问题的讨论中，拉格朗日动力学方程常写作更简化的一般形式： 式中： 的意义见（5 )式。 （6) . 乘法次数： 6.5 机器人的牛顿—欧拉方程 机器人的拉格朗日动力学模型为非线性二阶常微分方程，利用这些方程，由已知的每一轨迹设定点的关节位置、速度和加速度，可以计算各关节的标称力矩，但拉格朗日方程利用4×4齐次变换矩阵，使得计算效率太低。 加法次数： 为了实现实时控制，曾用过略去哥氏力和向心力的简