3.4多元函数的偏导数和全微分.pptVIP

一、 偏导数的概念 二、高阶偏导数 三、可微与偏导数的关系 *3.4 多元函数的偏导数和全微分 四、全微分 在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化. 则 z 成为一元函数 z = f (x, y0), 我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数. 一、偏导数的定义 　　设 z = f (X) = f (x, y) 在 X0 = (x0, y0) 的某邻域 U(X0)内有定义. 固定 y = y0, 在 x0 给 x 以增量 x . 相应函数增量记作 称为 z 在点 X0 处关于 x 的偏增量. 定 义 则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数. 即 此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在. 称为z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 y 的偏导数. 称为z 对自变量 x 的偏导函数(简称偏导数) 　　1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一元函数来定义的.因此,在实际计算时, 注 　　求 f x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 　 求 f y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元函数求导公式求即可. 　　2.计算 三种方法： (1) 用定义计算. (2) 先计算 　　　　再代值得　　　　． 　　(3) 先计算 　　　　再计算 　　　　再 　　　　 计算 　　　 ． 例1 解 或 f (x, 2) = x2 + 6x + 4, f x(x, 2) = 2x + 6 故 f x(1, 2) = 2+ 6 = 8. 练习 解 例2　 解 例3 解 偏导数的概念可推广到三元以上函数中去. 比如, 设 u = f (x, y, z) . 它的求法, 就是将 y, z 均看作常数来求即可. 例4 解 例5 已知 求 解 15 练： 　　在一元函数中, 可导必连续, 但对多元函数不适用. 　　　　即, 对多元函数 f (X)而言, 即使它在 X0 的对各个自变量的偏导数都存在, 也不能保证 f (X)在 X0 连续. 偏导与连续的关系 例 设 证明：z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在, 但 它在 (0, 0)不连续. = 0 = 0 　　故 z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在． z = f (x, y)在(0, 0)的两个偏导都存在. 证 当 k 不同时, 极限也不同. f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 . 　 z = f (x, y)在(0, 0)的极限不存在, 因此它在 (0, 0)不连续. 　　从几何上看, f x (x0, y0)存在. 只保证了一元函数 f (x, y0)在 x0 连续. 　　　　　　　　　　　也即 y = y0 与 z = f (x, y)的截线 1 在 M0= (x0, y0 , z0)是连续的. 　　同理, f y (x0, y0)存在. 只保证了x = x0 与 z = f (x, y)的截线 2 在 M0连续. 但都不能保证曲面 z = f (x, y)在 M0连续. 21 在二元函数中，连续不一定能保证偏导数存在，有时某些 不连续的点，偏导数却存在. 例:函数 在点（0,0)连续，但其偏导数不存在. (不存在) 同理 (不存在) 当 X 从任何方向, 沿任何曲线趋于X0时, f (X)的极限都是 f (X0). 由于它们还是 x, y 的函数. 因此, 可继续讨论 二、高阶偏导数 设 在区域D内可偏导,若 偏导． 注： （1）二元函数的二阶导数一共有四个： 二阶混合偏导数 类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数. 例1. 解: 若不是, 那么满足什么条件时, 二阶混合偏导数才相等呢? 问题: 是否任何函数的二阶混合偏导数都相等? 定理1 若二阶混合偏导数连续，则它们与 即: ＝ 求导次序无关. 例2 求 的二阶偏导数 解: 三、全微分的概念 复习一元函数的微分： 可导 微商 可微 　　　　　　　　　　　　一般说来, 算这个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式. 该近似公式应满足：(1)好算； (2)有一定的精确度. 　　在实际中,常需计算当两个自变量都改变时, 二元函数 z = f (X) = f (x, y)的改变量