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You jump, I will not jump!断点回归的连续性假设 断点回归RD是当代社会科学因果推断的最基本无害的大招之一。比如我们要研究上一本大学是否能提高一个人的工资，如果直接对比上了一本大学和没上一本大学群体的工资，可能会因为上一本大学的天生能力更强而得出有偏误的结论，而能力等不可观测变量无法控制。RD给我们提供了一个思想——观察一本线附近上下几分学生的工资。比一本线低2分、1分的人工资差距不大，高2分、1分的差距也不大，但比一本线低1分的和正好达线的工资上有个跳跃，那这个跳跃就是一本大学对工资的作用。一本线产生了一个天然的跳跃（两侧的人分别上一本和二本），如果在一本线两侧我们也看到了关注变量（工资）的跳跃，那么就识别了因果效应。 直觉上来看，RD的成立还需要一个关键假设：一本线产生了一个天然的跳跃，但一本线附近学生各特征不能有跳跃！否则就混淆了一本大学对工资的作用。这就是连续性假设。 1、断点回归背景介绍 Thistlethwaite and Campbell(1960)使用了RD方法后的40年，RD并没有在经济学中大规模使用，一大原因就是RD太像自然科学的随机实验了，太不像经济学传统方法了（比如上周我们BLUE_OLS读Black（1999）关于择校会使房价上升的论文（”Do better schools matter? Parental valuation of elementary education”），该文利用学区边界推断因果，应该说思想跟RD很像，但没有按照RD框架来写，可能的原因是作者写作年代RD还并不流行）。直到Hahn, Todd, and van der Klaauw(2001)把RD纳入到了我们熟悉的“反事实因果推断”框架下，如下图（原文图2）。 我们把断点看成一种treatment，断点右侧的是处理组，断点左侧的是控制组。可以观测到处理后的处理组，和未处理的控制组。在离断点很近的区间里（图中是X＝2），控制组Y(0)观测不到的那段就可以作为处理组Y(1)观测到的那段的反事实，从而推断出因果效应。从这里能很清楚地看出“连续性假设”的重要性，如果违反连续性，就不能作为另一组的反事实。 但这里还存在两个难题：1.我们都知道连续性假设很重要，但该假设在经济学语言里很不传统，有点怪怪的。2.如果从“selection on observables”角度来看，我们通常的2个传统假设——ignorance（unconfoundedness）和overlap，在RD设计里，第一个假设天然满足，因为控制X后，断点两侧样本在是否处理上没有变差了（一侧D＝1，一侧D＝0）；但overlap肯定不满足，没有交叠部分。从这个角度来看，我们需要增加连续性假设，用来补偿overlap不能满足。RD是不是valid，就取决于这个连续性假设。 2怎样用经济学语言表述连续性假设？ 先看一个RD的最简单设定形式： 这里，W不需要假定外生，只要前定于V；并且不需要附加W、U、V之间关系的假设。下面就可以给“连续性假设”下定义了。 还是以考一本大学为例，假设大家目标都是考上一本，过一本线就行，分数再高也意义不大。x＝0是一本线，黑色粗线代表Complete control，所有人的分数都刚好达线，完美控制，恰到好处一分不浪费。点线代表Precise control，即所有人都能通过控制自己的行为，虽然不能确定自己具体分数，但能控制自己都考上一本，所以密度函数是截断的。虚线代表Imprecise control，即你可以部分控制自己的分数，比如多努力一些考上一本的概率就大，自己分数的分布就可以往右边推推，但是你不能确定你到底考多少分，也不能保证一定考上一本。 RD要求我们都是Imprecise control即可！即便我们可以控制自己行为，只要在断点处是Imprecise control即可，那么断点附近的Pr(W=w,U=u|X=x)就是连续的。 这一点可以通过贝叶斯公式来看： 按照定义，如果我们是Imprecise control，那么f(x|W=w,U=u)就是连续的。这个东西连续，根据公式（3），Pr(W=w,U=u|X=x)就是连续的，此式连续，就意味着局部随机。即 局部随机了，RD设计在断点附近的两侧就拥有同样的分布。这也是RD吸引人的地方：只要有Imprecise control，则在断点附近就像随机试验一样好。 也就是说，RD设计通过断点处一个天然跳跃造成关注变量的跳跃，从而识别因果。重要前提连续性假设——因为Imprecise control，所以断点跳，(W,U)不跳。 由此，我们就可以进行因果推断了： 最后一步的公式化简靠的就是连续性假设。 3、那如何检验连续性呢？ 我们无法直接检验Pr(