13. 习题课(幂级数).ppt

习题课 一、求幂级数收敛域的方法 例2. 二、幂级数和函数的求法 例3. 求幂级数 法2 练习: 练习: 三、函数的幂级数展开法 2. 设 * 幂级数的收敛、求和与展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数和函数的求法 三、函数的幂级数展开法 一、求幂级数收敛域的方法 第13章 ? 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 ? 非标准形式幂级数 通过换元转化为标准形式 直接用比值法或根值法 处的敛散性 . 1. 求下列级数的敛散区间: 练习: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 当 因此级数在端点发散 , 时, 时原级数收敛 . 故收敛区间为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 因 故收敛区间为 级数收敛; 一般项 不趋于0, 级数发散; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数 极限不存在 ∵ 原级数 = ∴ 其收敛半径 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 求部分和式极限 求和 ? 映射变换法 逐项求导或求积分 对和式积分或求导 难 直接求和: 直接变换, 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值 求部分和等 ? 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） ? 数项级数 求和 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法1 易求出级数的收敛域为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 先求出收敛区间 则 设和函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x≠0 1. 求下列幂级数的和函数： 级数发散, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有 x = ?1 时, 级数也收敛 . 即得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式= 的和 . 1. 求级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 直接展开法 ? 间接展开法 练习: 1. 将函数 展开成 x 的幂级数. — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 将 f (x)展开成 x 的幂级数 , 的和. ( 01考研 ) 解: 于是 并求级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * *