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双曲线的 简单几何性质(1) 1.双曲线的标准方程: 形式一： （焦点在x轴上，（-c，0）、 （c，0）） 形式二： （焦点在y轴上，（0，-c）、（0，c）） 其中 一、复习回顾： o Y X 关于X,Y轴, 原点对称 (±a,0),(0,±b) (±c,0) X轴、Y轴 |x|?a,|y|≤b F1 F2 A1 A2 B2 B1 2.椭圆的图像与性质: 2、对称性 一、研究双曲线 的简单几何性质 1、范围 关于x轴、y轴和原点都是对称的. x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心， 又叫做双曲线的中心。 x y o -a a (-x,-y) (-x,y) (x,y) (x,-y) 二、讲授新课： 3、顶点 （1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点 x y o -b b -a a 如图，线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线实半轴长；线段 B1B2 , 叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长 （2） 4、渐近线 经过 作y轴的平行线x=±a,经过 作x轴的平行线y=±b, 设M(x,y)是它上面的点，N(x,Y)是直线 上与M有相同横坐标的点， 则 这一部分的方程为： ，图上可以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直 下面我们来证明这个结论。取双曲线第一象限的部分, 矩形的两条对角线所在直线的方程是 M(x,y) N (x,Y) 四条直线围成一个矩形。 线逐渐接近。 设|MQ|是点M到直线 的距离，则|MQ|＜ |MN|, 当x逐渐增大时， |MN|逐渐减小， |MN接近于0 ，|MQ|也接近于0 就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于 射线ON.在其他象限内，也可类似证明。 我们把两条直线 叫做双曲线的渐近线。 如果a=b,那么双曲线的方程为 它的实轴和虚轴都是2a, y=±a围成正方形， 平分双曲线实轴和虚轴所成的角。 我们把实轴和虚轴相等的双曲线叫做等轴双曲线。 特殊地， 双曲线（草图）的画法： ⑴画出双曲线的渐近线 ⑵确定双曲线顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点 并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特 点画出双曲线的一部分。 ⑶利用双曲线的对称性画出完整的双曲线。 这时，四条直线x=±a, 他们互相垂直，并且 渐近线方程y=±x, 5、离心率 离心率。 ca0 e 1 e是反映双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大! （1）定义： （2）e的范围： （3） 双曲线的渐近线的求法： 焦点在x轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程： Y X 1、 范围： x≥a或x≤-a 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0） 4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 A1 A2 B1 B2 5、渐近线方程： 6、离心率： e= 关于x轴、y轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 关于x轴、y轴、原点对称 渐进线 . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) 如何记忆双曲线的渐进线方程？ 例1、求双曲线9x2－16y2=144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。 例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕 其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径 13m,下口半径　为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此 　　双曲线的方程(精确到1m). A′ A 0 x C′ C B′ B y 13 12 20 * *