常微分方程课件--常数变易法..pptVIP

§1.4 线性方程与常数变易法 一阶线性微分方程 一 一阶线性微分方程的解法-----常数变易法 代入(1)得 积分得 注 求(1)的通解可直接用公式(3) 例1 求方程 通解,这里为n常数 解: 将方程改写为 首先,求齐次方程 的通解 从 分离变量得 两边积分得 故对应齐次方程通解为 其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解, 即 积分得 故通解为 例2 求方程 通解. 解: 但将它改写为 即 故其通解为 例3 求初值问题 的解. 解: 先求原方程的通解 故所给初值问题的通解为 形如 的方程,称为伯努利方程. 解法: ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理 Bernoulli (1654 – 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 《猜度术》, 则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出版了他的巨著 这是组合数学与概率论史上的一件大事, 此外, 他对双纽线, 悬链 线和对数螺线都有深入的研究. 例4 求方程 的通解. 解: 解以上线性方程得 例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系. 二 线性微分方程的应用举例 电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零. 则电流经过电感L, 电阻R的电压降分别为 解线性方程: 解: 于是由Kirchhoff第二定律, 得到 设当开关K合上后, 电路中在时刻t的电流强度为I(t), 取开关闭合时的时刻为0, 得通解为: 故当开关K合上后,电路中电流强度为 例2 湖泊的污染 设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸， 这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20 立方米每小时. 开始湖中有水400000立方米. 河水中流 入不含盐酸的水是1000立方米每小时, 湖泊中混合均匀 的水的流出的速率是1000立方米每小时, 求该厂排污 1年时, 湖泊水中盐酸的含量. 解: 设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为 考虑 内湖泊中盐酸的变化. 因此有 该方程有积分因子 两边同乘以 后,整理得 积分得 利用初始条件得 故