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第二章 控制系统的数学描述方法 本章主要内容 引言 2-1 控制系统的微分方程 2-2 非线性微分方程的线性化 2-3 拉普拉斯变换及其应用 2-4 传递函数 2-5 动态结构图 2-6 一般反馈控制系统 小结 引言 解析法－对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律。 实验法－人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。 二、常用数学模型 设定常系统 2-1 控制系统的微分方程 线性定常系统 线性定常系统满足以下性质： 线性可加性 参数定常性 2-1-1 电学系统 电路分析中的基本元件：电阻R、电容C、电感L，它们的V-I关系遵循广义欧姆定律: 电阻： 电容： 电感： 2-1-2 力学系统 古典力学系统的运动定律是牛顿定律： 平移运动： 1、确定系统的输入 和输出 ； 非线性系统的线性化 对于数学上满足基本条件(连续、可导)的非线性系统，确定其在工作点邻域的线性关系，称为非线性系统的线性化。 非线性系统线性化的步骤： 首先确定系统输入-输出之间的函数 。 在工作点 邻域将 展开为泰勒级数 增量 较小时略去其高次幂项，则有 令 则线性化方程为 Δy=kΔx 式中 是比例系数，是函数在x0点切线的 斜率。 2-3 拉普拉斯变换及其应用 2-3-1 拉氏变换定义 已知时域函数 f(t) ，如果满足相应的收敛条件 则 f(t) 的拉氏变换存在，其表达式记作 2-3-2 常用信号的拉氏变换 2-3-3 拉氏变换的基本定理 2-3-4 拉氏反变换 在控制理论中，常遇到的象函数F(s)形 式如下 应用部分分式法进行拉氏反变换： 分母A(s)全部为单根 [例2-10] 求 的拉氏反变换。 解 …… 分母A(s)有重根 F(s)有重极点，假若F(s)有m重极点s2，简单极 点s1，那么， 因为 [例2-11] 求 的拉氏反变换。 解 于是，F(s)分解为 用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可供查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 1、方程两边作拉氏变换； 2、将给定的初始条件与输入信号代入方程； 2、写出输出量的拉氏变换； 3、作拉氏反变换求出系统输出的时间解。 [例2-13] RC滤波网络如图，输入电压ui(t)=5V，电容的初始电压uc(0)分别为0V和1V，求uc(t)。 解 RC滤波网络的微分方程为： [例2-14] 已知微分方程为 输入信号 ，初始条件为 求系统的输出 。 解 方程两边拉氏变换 2-4 传递函数 2-4-1 传递函数的定义 线性定常系统的传递函数，定义为零初使条件下， 系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。 式中y(t) 为输出变量，u(t) 为输入变量；ai和bj 是与系统结构和参数有关的常系数。 设y(t)和u(t)及其各阶系数在t=0时的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令Y(s)=L[y(t)]， U(s)＝L[u(t)]，可得s的代 数方程为： 2-4-2 传递函数的性质 1、传递函数只适用于线性定常系统。 5、传递函数是描述线性定常系统的参数模型。物理可实现系统： 2-4-3 控制系统的传递函数 1、复数阻抗 [例2-18] RCL网络如图，用复数阻抗法求该网络 的传递函数。 2、典型环节 任何一个复杂的系统，总是由若干典型环节组合而成。熟悉这些环节的传递函数，对于了解与研究系统会带来很大的方便。典型环节有比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。下面分别介绍这些环节的传递函数及其推导。 （1）比例环节 ①具有比例关系的元件称为比例环节。 （2）积分环节 ①凡具有积分运算关系的环节称为积分环节。 （3）微分环节 ①凡具有微分运算关系的环节称为微分环节。 （4）一阶惯性环节 例：求如图所示低通滤波器的传递函数。ui(t)为输 入电压，u0(t)为输出电压，R为电阻，C为电容。 解： 式中T=R