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处理椭圆最值问题的八大策略 数学组 陈东生 圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广,处理方法灵活等特点为高考命题者在此知识点设计综合问题提供了理论依据。如何选用恰当方法，明晰解题思路，是多数考生亟待解决的问题，笔者，教你“八招”。 一：探求变量间的相关函数 例1：点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。 解：（1）略 （2）直线AP的方程是－+6=0。 设点M(,0),则M到直线AP的距离是。 于是=,又－6≤≤6,解得=2。 设椭圆上的点(,)到点M的距离 , 由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值 点评：本题求解难点是如何将动点M与椭圆上点P间的距离表示成某个变量的函数，常见处理方法是大胆引入变量，利用设而不求方法或直接换元变多元为一元函数进行求解 二：寻求椭圆特征量的等式或不等式 例2：若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。 解：不妨设，则， 利用到角公式及得：（）， 又点在椭圆上，故， 化简得又即 则， 解得。 故椭圆离心率的最小值为。 点评：对于此类最值问题求解关键是如何建立椭圆中的三大特征量之间的关系。常用方法是通过对椭圆上的特殊点（如顶点、焦点）的连线或由其围成的图形进行。分析，确定满足的条件，进而求解。 三、利用椭圆标准方程特征巧用三角代换求最值： 例3求椭圆上的点到直线的最大距离和最小距离. 解：椭圆的参数方程为则椭圆上任意一点P坐标为,∴到直线的距离为== ，d取最大值，即；，d取最小值，即 点评：因为椭圆方程为类似于三角中的同角的平方关系,故经常用三角代换转化为角的运算，对于解题往往会收到奇效，但一定要注意角的范围. 四：利用焦点三角形相关性质求最值 例4：已知椭圆C：两个焦点为，如果曲线C上存在一点Q，使，求椭圆离心率的最小值。 解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得： 故，故椭圆离心率的最小值为。 点评：此法求最值问题关键是合理利用焦点三角形正弦定理或余弦定理建立的边角关系，再利用椭圆定义确定其隐含条件，找出其变量关系，建立等式并利用三角函数的有界性解题。 五：利用题中数字特殊性由第二定义转化 例5已知定点A（2，1），F（1，0）是椭圆的一个焦点，P是椭圆上的点，求|PA|+3|PF|的最小值. 解：椭圆右准线设P在上的射影为D，由椭圆第二定义有.过A作于E,交椭圆于P3, P3使得达到最小值为7 点评：利用第二定义实现了数据的转化，本小题一般情形假如题设与本题类同，所求的便是的最小值 六：利用椭圆的对称美 例6已知的焦点为F1、F2，在直线上找一点M,求以F1、F2为焦点，通过点M且点M到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程. oxyF1F2MF1’解：F1（-2，0）、F2（2，0），F1关于的对称点为F’1(-6,-4),连接F’1 、F2交于点M o x y F1 F2 M F1 点评：：椭圆是一个很对称的几何图形对称是数学美的一个非常重要的方面，充分发掘几何图形的对称性，利用数形结合的思想，可以把复杂的运算简单化. 七：利用平面几何知识 PMyOlF1F2xN例7：如图，在直线上任意取一点 P M y O l F1 F2 x N 解：椭圆的两焦点分别为（－3，0）、（3,0）， 作关于直线的对称点，则直线的方程为 由方程组　　得的坐标（－6，3）， 由中点坐标公式得的坐标（－9,6）,所以直线的方程。 解方程组　　得点坐标（－5,4）。由于，　　 点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形边间关系或两点连线最短、垂线段最短的思想，此法较直观，易于求解。 八、借助向量有关结论解题 例8 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴上的焦点.已知与共线，与共线，且·=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. 解∵. 即.当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴. 不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴.∵F(0, 1) ∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0　分别代入椭圆中得：|MN|=, |PQ|=2 ∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|=××2=2 当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1 (k≠0)， 代入椭圆中得(k2+2)x2+2kx－1=0, ∴x1+x2=, x1·x2= ∴ 同理可得： ∴S四边形PMQN=|MN|·|PQ|== (当且仅当即时，取等号). 又S四边形PMQN =，∴此时, S四边形PMQN 综上可知：(S四边形PMQN )max