第四章第二节 幂级数.ppt

无穷级数 一、幂级数的收敛性 2.幂级数的收敛半径 3. 幂级数的运算及性质 常用已知和函数的幂级数 四、函数展开成幂级数 2.函数展开成幂级数 四、小结 * 幂 级 数 第 二 节 学习重点 理解函数项级数的一般概念 幂级数及其收敛性 幂级数的运算 函数展开成幂级数 定义: 1. 收敛域与和函数 函数项级数的部分和 余项 (x在收敛域上) 注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. (定义域是?) 收敛性: 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 推论 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间. 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 例1 求下列幂级数的收敛区间: 解 该级数收敛 该级数发散 解 缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛区间为 （1）幂级数的运算 (1) 加减法 (其中 (2) 乘法 (其中 柯西乘积 (3) 除法 (相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多) （2）幂级数的和函数的性质: 性质1 幂级数 ? ￥ = 0 n n n x a 的和函数 ) ( x s 在收敛区间 ) , ( R R - 内连续 , 在端点收敛 , 则在端点单侧连续 . (收敛半径不变) 性质2 幂级数 ? ￥ = 0 n n n x a 的和函数 ) ( x s 在收敛区间 ) , ( R R - 内可积 , 且对 ) , ( R R x - ? 可逐项积分 . (收敛半径不变) 性质3 幂级数 ? ￥ = 0 n n n x a 的和函数 ) ( x s 在收敛区间 ) , ( R R - 内可导 , 并可逐项求导任意次 . （注） 下列常用公式 以上这些公式均为最基本的泰勒公式(麦克劳林 公式), 请务必牢记. 解 收敛区间(-1,1), 问题: 1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 1.泰勒级数 问题 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定. 可见 在x=0点任意可导, （1）直接法(泰勒级数法) 步骤: 例1 解 由于M的任意性, 即得 则有幂级数 例2 解 (2)间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,求展开式. 例如 * *