第五节 函数的幂级数展开式的应用.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 一、近似计算 二、计算定积分 三、欧拉公式 第五节 函数幂级数展开式的应用 第十二章 两类问题: 1.给定项数，求近似值并估计精度; 2.给出精度，确定项数. 关健: 通过估计余项，确定精度或项数. 一、近似计算 常用方法: 1.若余项是交错级数，则可用余和的首项来解决; 2.若不是交错级数，则放大余和中的各项，使之成为等比级数或其它易求和的级数，从而求出其和. 例1 解 余和: 例2 解 例3 解 两式相减, 得到不含有偶次幂的展开式: 考虑到舍入误差, 计算时应取五位小数: 例4 解 解法 逐项积分 展开成幂级数 定积分的近似值 被积函数 二、计算定积分 第四项 取前三项作为积分的近似值,得 例5 解 收敛的交错级数. 例6 解 根据幂级数在收敛区间内逐项可积, 得 取前四项的和作为近似值, 其误差为 所以 则称 ① 收敛 , 且其和为 绝对收敛 收敛 . 若 收敛, 若 对复数项级数 ① 绝对收敛 则称 ① 绝对收敛. 由于 , 故知 二、欧拉(Euler)公式 定义: 复变量 的指数函数为 易证它在整个复平面上绝对收敛 . 当 y = 0 时, 它与实指数函数 当 x = 0 时, 的幂级数展式一致. （欧拉公式） （也称欧拉公式） 利用欧拉公式可得复数的指数形式 则 瑞士数学家. 他写了大量数学经典 著作, 如《无穷小分析引论 》, 《微 还 写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和 发展奠定了基础. 分学原理 》, 《积分学原理》等, 为分析学的重 在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理. 欧拉 (1707 – 1783) * 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 高等数学A电子教案 * 运行时, 点击“(欧拉公式)”, 或按钮“欧拉” , 将显示欧拉简介, 并自动返回.