11.2Runge-Kutta法 11.3线性多步法.pptVIP

龙格--库塔法 欧拉法 实际问题导入 第十一章 常微分方程数值解/* Ordinary Differential Equations Numerical Solution*/ 线性多步法 11.2 Runge-Kutta方法 一、Runge-Kutta法的基本思想 1、基本思想 Runge和Kutta不是用求微商的方法，而是计算不同点上的函数值，然后对这些函数值作线性组合，建立近似公式，把近似公式和Taylor展开式作比较，使得前面若干项相吻合，从而使近似公式达到一定的阶数。 对于Euler公式，写成平均化的形式为 每步计算f一次 总体误差O(h) 2、具体做法 对于改进的Euler公式，写成平均化的形式为 每步计算f两次 总体误差O(h2) 注：两组公式的相同点是f(x,y)在某点处的函数值的线性组合，得到近似值，而且增加f(x,y)的计算次数，可提高总体截断误差的阶数，按此想法，若设法在[xn,xn+1]内多预估几个点，这些点处函数值做加权平均值，建立高精度公式。 一般的Runge－Kutta法构造，设计计算格式如下 适当的选择参数，使其具有m阶精度。 二、二阶Runge-Kutta公式 适当的选择参数c1,c2,a,b，使其具有二阶精度。 按照二元函数泰勒级数展开： 将K1,K2,代入yn+1得： 另一方面： 欲使设计的格式具有二阶精度，只需 满足上式条件的参数，无论如何取法，都要计算f两次，局部截断误差O(h3)，都是二阶方法，统称为二阶Runge-Kutta法。 改进的Euler格式 Heun公式 三、三阶Runge-Kutta公式 问题：若不增加函数值的计算次数，能否适当选取4个参数，使近似公式的局部截断误差的阶再提高，达到O(h4)？ 试算一下： 注：如果不增加函数值的计算，无法提高公式的精度！ 三阶Runge-Kutta法 8个参数满足 常见的三阶Runge-Kutta公式 四、四阶Runge-Kutta法 13个参数满足11个方程可得到四阶Runge-Kutta公式。 常见的四阶Runge-Kutta法 优点： 1、一步法，给定初值后，可逐步计算； 2、精度高； 3、计算过程便于改变步长。 缺点： 计算量大，一步计算四个函数值 例： 四阶Runge-Kutta法格式为 取步长 h=0.5,计算结果为 1 1.5 1.625 2.313 1.796 2.30 3.12 3.326 4.459 3.433 4.43 5.79 6.130 7.998 6.456 7.96 10.12 10.75 13.83 11.76 13.76 17.45 18.37 23.44 20.83 K1 K2 K3 K4 yn } 11.3 线性多步法 ?线性多步法的建立常用方法 利用数值积分的方法 基于泰勒展开式的待定系数法 单步法----计算yn+1时只使用yn的值。 多步法的概念 多步法----计算yn+1时使用前面的k个yi 值，即由 yn-k+1 , yn-k+2 , …,yn-1, yn计算yn+1。(k=1,2,……) 线性多步法----计算yn+1的公式由yn-k+1 , yn-k+2 , …,yn-1, yn 的线性组合表达。 基本思想 求初值问题 等价于求积分方程 取不同的数值方法计算积分，可导出不同的计算公式： 1、用矩形法计算积分项： 得到： (欧拉公式) 基本思想 2、用梯形法计算积分项： 得到： (改进Euler公式) 3、推广：由插值法可建立一系列数值积分，运用这些方法可导出求初值问题的系列计算公式： 具体做法：利用插值多项式 近似取代 ， 用 近似取代 得到公式： 四阶阿达姆斯(Adams)外插（显式）公式 设xn-3 ,xn-2 ,xn-1 ,xn 处的函数值分别为yn-3 ,yn-2 ,yn-1 ,yn 如何利用这些值计算yn+1？ 令： 已知： 利用插值多项式原理，建立三次Lagrange插值多项式： 余项： 代入 可得： 易算： 略去余项，得到四阶阿达姆斯外插公式 ： 余项： 这是显式公式。公式的局部截断误差为O(h5)。