第三节 幂级数.ppt

第三节 幂级数 一、概念 二、幂级数的收敛半径与收敛区间 1、定 理 2、定 义 3、求法 三、幂级数的运算 1、逐项相加减 2、逐项求导 3、逐项积分 第三节 幂级数 一、概念 函数项级数 收敛域 发散域. 幂级数: 其中常数 称为幂级数的系数。 只需做变量代换t=x-x0即可, 故以后只讨论前一种形式. 在收敛域上,级数的和是 x 的函数 s(x), 称s(x)为和函数， 收敛域为 发散域为 和函数为s(x) 则适合不等式 的一切 x 使这幂级数绝对收敛. 反之,如果级数 当 时发散,则适合不等式 的一切 x 使这幂级数发散. 1、定理 当 时收敛, 二、幂级数的收敛半径与收敛区间 证 于是存在一个常数 M , 使得 时收敛, 收敛, 定理的第二部分可用反证法证明. 绝对收敛. 时,幂级数绝对收敛; 时,幂级数发散; 时,幂级数可能收敛也可能发散. 2、定义 必定有一个常数R存在,使得当: 正数R通常叫做幂级数的收敛半径. 的收敛性就可以决定它在区间(-R,R)、[-R,R)、 敛,这区间叫做幂级数的收敛区间. 由幂级数在 x=±R处 (-R,R]或[-R,R]上收 如果 3、求法 则 因为 对于端点 x=1, 级数成为交错级数 收敛. 对于端点 x=-1,级数成为 发散. 故级数的收敛区间是(-1,1]. 例1 求幂级数 的收敛半径与 收敛区间. 解 例2 求幂级数 的收敛区间. 解 因为 其收敛区间为 (-∞,+∞). 例3 求幂级数 的收敛半径. 解 因为 所以收敛半径R=0,即级数仅在x=0处收敛. 例4 求幂级数 的收敛半径. 因为级数缺少奇次幂的项,定理不能直接应用.可根据 比值审敛法来求收敛半径: 所以收敛半径为 解 例5 求幂级数 的收敛半径与收敛区间. 对于端点 t=-2,级数成为交错级数 收敛. 对于端点 t=2,级数成为 发散. 故原级数的收敛区间是 [-1,3). 解 令 t =x-1, 上述级数变为 得 又当 * * * *