第三节 幂级数.ppt

第三节 一、 函数项级数的概念 例如, 等比级数 二、幂级数及其收敛性 定理 1. ( Abel定理 ) ` 定理2. 若 例1.求幂级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 例3. 求幂级数 例4. 求幂级数 三、幂级数的运算 说明: 定理4 若幂级数 例5. 求幂级数 例6. 例7. 求级数 例8. 内容小结 答: 不能. 常用已知和函数的幂级数 阿贝尔(1802 – 1829) 备用题 求极限 2. 在幂级数 中, n 为奇数 n 为偶数 能否确定它的收敛半径不存在 ? 因为 当 时级数收敛 , 时级数发散 , 说明: 可以证明 比值判别法成立 根值判别法成立 请熟记 * 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第十三章 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛,称 发散 ,称 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 为级数的和函数 , 并写成 若用 令余项 则在收敛域上有 表示函数项级数前 n 项的和, 即 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 证: 设 收敛, 则必有 于是存在 常数 M 0, 使 当 时, 收敛, 故原幂级数绝对收敛 . 也收敛, 反之, 若当 时该幂级数发散 , 下面用反证法证之. 假设有一点 满足不等式 所以若当 满足 且使级数收敛 , 面的证明可知, 级数在点 故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切 则由前 也应收敛, 与所设矛盾, 证毕 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ? 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 可能收敛也可能发散 . 外发散; 在 (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 的系数满足 证: 1) 若? ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 原级数收敛; 当 原级数发散. 即 时, 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝∞时, 即 时, 则 或 2) 若 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , 对任意 x 原级数 因此 因此 的收敛半径为 或 说明:据此定理 因此级数的收敛半径 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 级数为交错级数 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 的收敛半径 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 的收敛域. 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 原级数为 此级数发散; 当 t = – 2 时, 原级数为 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 练习1 求下列幂级数的收敛域: 解 该级数收敛 该级数发散 级数发散 级数收敛 故原级数收敛域为(0,1]. 故原级数收敛区间为(0,1）. 解 缺少偶次幂的项 级数收敛, 级数发散, 级数发散, 级数发散, 原级数的收敛域为开区间 定理3. 设幂级数 及 的收敛半径分别为 令 则有 : 其中 以上结论可用部分和的极限证明 . 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比 原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 它们的收敛半径均为 但是 其收敛半径只是 的收敛半径 (证明见第六节) 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注: