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1.2 任意角的三角函数 1.(回忆)锐角三角函数(直角三角形中) 2.锐角三角函数(直角坐标系中) 使锐角 的顶点与原点重合,始边与 轴的正半轴重合. x y 的终边上任取一点 它与原点的距离 , . 在 x y . 思 考 改变终边上点 的位置,这些比值 会发生改变吗? 这三个比值不发生改变. 改变终边上点 的位置, 提示:由相似三角形的对应边的比值相等,可知 思 考 是否能通过 取特殊值将表达式简化呢? 提示: 取 即使点 到原点距离为1. 以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆,称为单位圆. 3.锐角三角函数(在单位圆中) 那么这样的点的轨迹是什么呢? M y o x 1 4.用单位圆定义任意角的三角函数 x y o 的终边 设 是一个任意角,它的终边 与单位圆交于一点 , 那么 (1) 叫做 的正切,记作 , 即 (3) (2) 叫做 ,即 的余弦,记作 叫做 的正弦,记作 ,即 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐 或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 标 x y o 的终边 说 明 (1)正弦就是交点的纵坐标,余弦就是交点 横坐标的比值. 的横坐标, 正切就是 交点的纵坐标与 (3)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数. . (2) 正弦、余弦总有意义.当 的终边在 横坐标等于0, 无意义,此时 轴上时,点P 的 直角三角形中定义锐角三角函数 直角坐标系中定义锐角三角函数 单位圆中定义锐角三角函数 单位圆中定义任意角的三角函数 任意角的三角函数的定义过程: 例1 求 的正弦、余弦和正切值 练习:将题目中的 改为 呢? y o x 解:在直角坐标系中, 所以 ,易知 与单位圆的交点坐标为 的终边 . 作 例2 已知角 的终边经过点 ,求角 的正弦、 余弦和正切值. 则 ∽ 于是, y o x . 解:由已知得 设角 的终边与单位圆交于点 , 分别过点 作 轴的垂线 、 、 练习:将点 改为 呢? 终边上任意一点的坐标也可以定义角的三角函数, 并且三角函数值仅与角 有关,与点 在终边上的位置 用角 无关. 如果将点 改为 呢? 思 考 5.利用角的终边上任意一点定义角的三角函数 三角函数 定义域 2.确定三角函数值在各象限的符号 y x o y x o y x o + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + 归纳: 一全正、二正弦、三正切、四余弦. 1.根据三角函数的定义,确定它们的定义域 (弧度制) 探 究 例3 确定下列三角函数值的符号: (1) (2) (3) 解:(1)因为 是第三象限角, (2) 因为 是第四象限角,所以 (3)因为 ,而 的终边在x轴上,所以 所以 ⑴我们证明如果①②式都成立,那么 为第三象限角. 例4 求证:当且仅当下列不等式组成立时,角 为第三象限角. ① ② 因为①式 所以 角的终边可能位于第三或第四象限, 也可能位于y轴的非正半轴上; 因为①②式都成立, 所以 角的终边只能位于第三象限, 为第三象限角. 又因为② 式 成立, 所以 或第三象限. 角的终边可能位于第一 为第三象限角时,不等式显然成立. ⑵当 证明: 公式一:终边相同的角的同一三角函数的值相等. 其中 作用:利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求 到 角的三角函数值. 练习 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 为第二象限角. 角 与 终边相同的角 可以表示为 , 那么终边相同的角的同一三角函数值有何关系? 思 考 例5 求下列三角函数值: (1) ;(2) (3) (2) (3) 解:(1) 练习:求下列三角函数值. 小结: (1)任意角的三角函数的定义; (2)三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号; (3)公式一及其应用; 作业: 课本第23页,习题1.2 A组第1、2、9题. (4)体会定义过程中体现的数形结合的思想. 网贷论坛 /bbs/ 网贷论坛 koa253iop
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