10.1黎曼积分的概念.pptVIP

第十章 数量函数积分 分割-近似-求和-取极限 第一节 数量函数黎曼积分的概念及性质 一、质量问题 二、数量函数积分的定义 三、什么样的数量函数黎曼可积 四、数量函数黎曼可积的性质 非均匀分布时“直线段”质量问题 . . 分割： . . 回忆一元积分 一、质量问题 非均匀分布时“直线段”质量问题 工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题. . . 分割： . . 均匀分布时： 质量=密度×长度 . . . 代替： 求和： 对每一个小区间 令 取极限得 这就是定积分 令 取极限得 这就是定积分 一般记为 非均匀分布时“曲线段”质量问题 . . 将一元函数积分进行推广 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ？ 平面曲线 非均匀分布时“曲线段”质量问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ？ 平面曲线 非均匀分布时“曲线段”质量问题 设平面曲线 L 上非均匀地分布着质量, 其分 布密度为 将曲线 L 任意分割成 n 个小段 每小段的 弧长记为 则每小段上的质量可近似地表 示为 令 求和并取极限便得曲线 L 的质量为 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 非均匀分布时平面薄板质量问题 均匀分布时：质量=密度×面积 继续进行推广 非均匀分布时平面薄板质量问题 设平面薄板 D 上非均匀地分布着质量, 其分 布密度为 将区域 D 任意分割成 n 个小块 每小块的 面积记为 则每小块上的质量可近似地表 示为 令 求和并取极限便得薄板D 的质量为 . . . . . . . . . . . . 非均匀分布时“曲面”质量问题 继续进行推广 非均匀分布时“立体”质量问题 均匀分布时： 质量=密度×体积 继续进行推广 我们已经连续解决了四个这类型的问题, 所用方法相同: 分割—代替—求和—取极限 以上讨论的几个问题的共同点： 对自变量的取值范围作任意分割. 形式相同的和式： (函数在某点的值)×(小几何体的度量值) 形式相同的极限： {分割后小几何体的度量值} 具有任意性 看成均匀变化时, 所求量可表示为两个量的乘积. 所求量对区域具有可加性. 二、数量函数积分的定义 中可度量的几何形体， （其中 若极限 存在， 则称此极限 式定义在 上的有界数量函数， 分割-近似-求和-取极限 记为 ——被积函数 非均匀分布时“直线段”质量问题 定积分 非均匀分布时平面薄板质量问题 直角坐标系 二重积分 非均匀分布时“立体”质量问题 直角坐标系 三重积分 非均匀分布时“曲线段”质量问题 对弧长的曲线积分 L 为封闭曲线 平面曲线 非均匀分布时“曲线段”质量问题 对弧长的曲线积分  为封闭曲线 空间曲线 非均匀分布时“曲面”质量问题 对面积的曲面积分 ∑为封闭曲面 三、什么样的数量函数可积(黎曼可积) 根据黎曼积分的定义可以得出： 若 则 若 在 内有界，且在除去 中有限 个低于 所在空间维数的几何形体外连续, 则 设  为 R3 中的可度量的几何形体， 则 黎曼积分应具有一些极限所具有的性质 这就是说， 四、 黎曼积分性质 性质1 质量 = 密度×几何形体的度量值 二重积分：相当于以D为底，高为1 的平顶柱体体积V= |D|。 计算 解 这相当于质量问题中的 (均匀分布) 故 以D 为底高为 4 的平顶柱体体积 性质2 (线性性质) 该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形 数 f(X), g(X)进行分割 ,代替, 求和,取极限得 由极限的运算法则，有 证 表示以D 为底，以z=y(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积 观察 二重积分的几何意义) 观察，比较这两个图形，看将D 分成 D1+ D2 时应满足什么条件？ 性质3 (对积分区域的可加性) 叙述性质3 想一想： 行！ 行！ 行！ 可以将性质3中的  任意分成有限个只有公共边界的部分： 设 则 性质4(保号性) 性质4的推论 1（比较性质） 设 则 性质4(保号性) 推论 2（绝对值不等式） 性质5 (估值定理) . . 二维空间 两个圆柱体之间 设 则 即 连续函数的介值定理 性质6 (积分中值定理) 性质6 (积分中值定理) 能不能确保中值定理中的 如果在区域上恒有 则可保证 还不能 存在N(X0 ),使得f(X)0。 保号性 行了 至少存在一点X0 ,使得f (X