D12.4 函数展开成幂级数.ppt

目录 上页 下页 返回 结束 高等数学 第十一章 山东交通学院高等数学教研室 第四节 函数展开成幂级数 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 幂级数两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 ( ? 在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日型余项 . 则在 复习: 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 : f (x) 的 n 阶泰勒公式 f (x)的 幂级数 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, (1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ (2) 在收敛域内 , 和函数是否为 f (x) ? 问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 泰勒公式可以表示为 定理1 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数 证明: 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 “ ” “ ” 定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 唯一的 , 证明: 则 显然结论成立 . 则这种展开式是 设 f (x) 所展成的幂级数为 且与它的麦克劳林级数相同. 二、函数展开成幂级数 1 直接展开法 第一步 第二步 第三步 是否为 直接展开成幂级数的步骤 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知函数的幂级数 0. 展开式 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 判定在收敛区间(－R, R) 内 例1 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 故得级数 其余项 故 (? 在0与x 之间) 例2 将 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 其余项 (? 在0与x 之间) 对上式两边求导可推出: 间接展开 例3 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 于是得 级数 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 称为二项展开式 . 注： (1) 在 x =±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式就是代数学中的二项式定理. 2 间接展开法 利用已知函数的幂级数展开式, 例4 展开成 x 的幂级数. 解: ∴ 将所给函数展开成 幂级数. 将函数 ∵ 类似地 例5 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 从 0 到 x 积分, 定义且连续, 域为 上式右端的幂级数在 x =1 收敛 , 所以展开式对 x =1 也是成立的, 于是收敛 即 得 例6 将 展成 解: 的幂级数. 例7 将 展成 x－1 的幂级数. 解: 内容小结 1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用已知函数的幂级数展开式. 2. 常用函数的幂级数展开式 当 m = –1 时 * * * *