勾股定理经典例题含问题详解.doc

实用标准文案 精彩文档 勾股定理经典例题含答案11页 勾股定理是一个基本的初等几何定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2，若a、b、c都是正整数，(a,b,c)叫做勾股数组。 勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类 HYPERLINK /view/991605.htm \t _blank 早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是 HYPERLINK /view/134322.htm \t _blank 数形结合的纽带之一。“勾三，股四，弦五”是勾股定理的一个最著名的 HYPERLINK /view/891808.htm \t _blank 例子。 远在公元前约三千年的 HYPERLINK /view/48511.htm \t _blank 古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。古埃及人也应用过勾股定理。在中国，西周的 HYPERLINK /view/781919.htm \t _blank 商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的 HYPERLINK /view/16578.htm \t _blank 毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。 类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b= (2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c= (3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2－CD2 =132－122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2－BC2 =52－32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.    思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，则有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.  解析：作于D，则因， ∴（的两个锐角互余） ∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.  根据勾股定理，在中， .  根据勾股定理，在中， .  ∴ .  举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：.   解析：连结BM，根据勾股定理，在中， .  而在中，则根据勾股定理有 .  ∴ 又∵ （已知）， ∴.  在中，根据勾股定理有 ， ∴.  【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。  分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。  ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE= 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）