数学建模论文捕鱼效益最大化模型.docx

《常微分方程》课程小论文——捕鱼业效益最大化方程模型 PAGE \* MERGEFORMAT 5 北京理工大学数学学院《常微分方程》小论文 捕鱼业效益最大化的微分方程模型 2012/12/18  捕鱼业效益最大化常微分方程模型 摘要 在将可持续发展作为基本国策的大背景下，像渔业这样的再生资源应该在持续稳产的前提下追求效益的最大化。 本文考察一个渔场，首先建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论渔场的效益最大化问题，最后提出相应的优化方案及建议。 关键字 :渔场鱼量捕捞强度平衡点稳定条件效益 问题分析 如今人们大范围过度捕捞导致了渔业的日渐枯竭，近海资源已经被严重透支，到远洋争议海域捕鱼又充满了危险，近年不断有渔船被日韩海监船扣压，更有甚者，去年3月份与韩国海警爆发冲突，导致一人死亡，引发各种问题。然而怎样才能实现捕鱼业效益的最大化 呢？应该如何控制捕捞强度才能实现效益的最大化？本文就这些问题进行了以下分析： 建立渔场鱼量x，捕捞强度E关于t的微分方程； 由上述微分方程组求出平衡点并分析其稳定性； 在稳定条件下求出渔场效益； 对其效益进行分析提出优化方案. 模型假设： 在无捕捞条件下，渔场中的余量x(t)的增长服从logistic规律（即阻滞增长模型）； 单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为E； 捕捞强度E(t)的变化率与利润成正比； 鱼的销售单价为常数p，单位捕捞率的费用为常数c； 模型建立与求解 在无捕捞条件下x(t)关于时间的微分方程 x(t)=fx=rx(1-xN r为固有增长率，N是环境容许的最大鱼量，用f(x)表示单位时间的增长量. 捕捞情况下渔场鱼量满足的方程 单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，比例系数为捕捞强度，于是单位时间的捕捞量为： hx=Ex ……（ 根据以上假设并记 F(x)=f(x)-h(x) 得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程为： xt=Fx 捕捞强度E(t)关于时间的微分方程 Et=kT-S k为比例常数，T为单位时间的收入，S为单位时间的支出. 其中 T=ph(x)=pEx, S=cE ……（5） 求平衡点并分析其稳定性 我们并不需要解方程(3)和(4)以得到x(t)，E(t)的动态变化过程，只希望知道渔场的稳定鱼量和保持稳定的条件，即时间t足够长以后渔场鱼量x(t)的趋向，并由此确定此时的效益.接下来我们将求解方程(3)和(4)的平衡点并分析其稳定性. xt=ux,E=rx 将（5）式带入下面的代数方程组， ux,E 解出平衡点为，（0,0），（N，0），（cp,r(1-c 稳定性分析： 当x=0,E=0时，即渔场鱼量为0且捕捞强度为0，此种情况不具有分析意义； 当x=N，E=0时，即渔场鱼量为环境最大容纳量，没有捕捞，同样，这种情况也不具有分析意义； 当x=cp，E=r(1-cNp)时，由于（6）为非线性方程组，所以我们将采用线性近似的方法讨论此时的稳定性。所以，在P0（cp,r(1-c u 系数矩阵记为 A=-rc P=-tr[A]=rcNp，Q=detA= 令P0, Q0,得pcN时，即售价大于成本时，P0 E= r1-cNp，x=cp 此时的持续产量h（x,E）=crp 效益分析 设单位时间的利润为 R=T-S=pEx-cE ……（8） 在稳定条件下，以（7）带入（8）得，R=0. 可见，在稳定条件下，单位时间的利润为0，即没有收益。所以说，在这种情况下，随着价格的上升和成本的下降，x会迅速减少，出现捕捞过度，效益越来越小，直至为0。 上述的效益模型是以盲目捕捞（即开放式捕捞）为基础的，如在公海上无规则捕捞。可以看出，如果捕鱼业仅仅靠市场价格等调控，渔民所获得的利润将越来越微薄，并且生态环境由于过度捕捞也遭到很大的破坏，捕鱼业效益最大化根本得不到实现，相反在往效益最小化发展。为此，我们做了以下模型优化。 模型优化 我们不妨仿照私营渔场的有计划捕捞优化模型。所以，我们假设捕捞强度E为常量。 令F(x)= rx1- 得到两个平衡点 x0=N1-E 不难算出F (x0)=E-r，F (x 当x1=0时，渔场鱼量稳定在 当x0=N1-Er时，若x0为稳定点，则 此时 R(E)=T(E)-S(E)=-pNrE2+(pN-c)E 所以，当EM 有R 将带入（9），得最大利润下