第四节幂级数.ppt

* 第四节 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的基本性质 幂级数 四、泰勒级数及其应用 一、 函数项级数的概念 设 为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ; 若常数项级数 为定义在区间 I 上的函数, 称 收敛, 发散 , 所有 为其收 为其发散点, 发散点的全体称为其发散域 . 在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它 为级数的和函数 , 并写成 若用 表示函数项级数前 n 项的和, 即 则在收敛域上有 例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 二、幂级数及其收敛性 形如 的函数项级数称为幂级数, 其中数列 下面着重讨论 例如, 幂级数 为幂级数的系数 . 即是此种情形. 的情形, 即 称 定理 8.9 ( Abel定理 ) 若幂级数 则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ; 由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 的收敛域是以原点为 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = ? 时, 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; (－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域. R 称为收敛半径 ， 在[－R , R ] 可能收敛也可能发散 . 外发散; 在 (－R , R ) 称为收敛区间. 发 散 发 散 收 敛 收敛 发散 定理8.10 若 的系数满足 证: 1) 若? ≠0, 则根据比值审敛法可知: 当 原级数收敛; 当 原级数发散. 即 时, 1) 当? ≠0 时, 2) 当? ＝0 时, 3) 当? ＝∞时, 即 时, 则 2) 若 则根据比值审敛法可知, 绝对收敛 , 3) 若 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 , 对任意 x 原级数 因此 因此 因此级数的收敛半径 的收敛半径为 说明:据此定理 对端点 x =－1, 的收敛半径及收敛域. 解: 对端点 x = 1, 级数为交错级数 收敛; 级数为 发散 . 故收敛域为 例1.求幂级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 解: (1) 所以收敛域为 (2) 所以级数仅在 x = 0 处收敛 . 规定: 0 ! = 1 例3. 的收敛区间 . 解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比较判别法求收敛半径. 时级数收敛 时级数发散 故收敛半径为 故直接由 例4. 的收敛域. 解: 令 级数变为 当 t = 2 时, 级数为 此级数发散; 当 t = – 2 时, 级数为 此级数条件收敛; 因此级数的收敛域为 故原级数的收敛域为 即 三、幂级数的基本性质 定理 8.11 定理8.12 若幂级数 的收敛半径 则其和函 在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同: 注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变. 例5. 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 例7. 求级数 的和函数 解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及 收敛 , 因此由和函数的连续性得: 而 四、泰勒级数及其应用 求下列幂级数的和函数得 就是说函数 f (x) 在其收敛域内能展开成幂级数. 问题: 3.展开式是否唯一? 1.在什么条件下才能展开成幂级数? 等式反过来写即为 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 由定理1知，若函数f(x)能展成幂级数，则其幂级数展开式必为泰勒级数 定义1 例1 求的 麦克劳林级数 定理8.13 逐项求导任意次,得 泰勒系数是唯一的, ★函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开 例3. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 例4. 将 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满