§3.5 洛朗(Laurent)级数展开.ppt

南区科技楼 * §3.5 洛朗（Laurent）级数展开 已知：当 f(z)在圆|z-z0|R内解析时，根据Taylor定理，f(z)必可展开成幂级数。 问题：当 f(z)在圆|z-z0|R内有奇点时，能否展开成幂级数或展开成类似于幂级数的形式？ 定义：双边幂级数及其收敛圆环 负幂部分　　　　　　　称为主要（无限）部分。 正幂部分　　　　　　　称为解析（正则）部分； 其中： 收敛区域（环）的确定 正则部分的收敛（圆）区域为 对主要部分，令 得 设其收敛（圆）区域 即 若 ，则级数处处发散。 若 ，两部分有公共的收敛区域 收敛圆环； 讨论： 正则部分 主要部分 R1 z0 |z-z0|R1 R2 z0 R2|z-z0| R2 R1 z0 收敛环 R2|z-z0|R1 双边幂级数的性质 定理1 双边幂级数 在收敛环上的和函数是一解析函数，并且在任意较小的闭圆环 上一致收敛。 R2 R1 z0 B 设双边幂级数 的收敛环B为R2|z-z0|R1，则 定理2 R2 R1 z0 B (1) 在B内连续； (2) 在B内解析，且于B内可逐项求导； (3) 在B内可逐项积分。 （洛朗定理） 定理3 设函数 f(z) 在环状域 R2|z-z0|R1 的内部单值解析，则对于环内任一点z， f(z)必可展开成 z CR1 CR2 R2 R1 z0 C 称为洛朗系数，c为环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线（也可取圆周）。 其中 几点说明 （2）洛朗系数 因为 成立的条件是 在C内解析； 但在 上， （即展开中心） （1） 存在奇点（即内圆以内存在奇点）； 可能不是 的奇点， z CR1 CR2 R2 R1 z0 C 若 在Z0不解析（不可导或无意义），而在Z0 的去心邻域 内解析，则称 Z=Z0 是 的孤立奇点。若在Z0无论多么小的邻域内，总有除Z0 外的奇点，则称Z0为 的非孤立奇点。 （4）定义： （3）洛朗展开是唯一的； 举例 例1：在z0=0的邻域上把 展开。 有孤立奇点z=0，并在 解： 内有 例2： 例３：将 分别在环域 以及z0=1的邻域上展开为洛朗级数。 解：（1） 的奇点为 ，展开中心z0=0不是奇点， 无穷多个负幂项 若在 上，只可展开为泰勒级数， （2）展开中心z0=1为奇点， 第一项已经是展开式的一项，对第二项，z=1不是奇点，z=-1是奇点，可在 上展开为泰勒级数 有限项负幂项 无限项正幂项和负幂项 无正幂项和无限项负幂项 例6：将 在 及 上展成洛朗级数。 解：（1）在 内， （2）在 内， *