7.5 函数展开成幂级数.ppt

7.5 函数展开成幂级数 一 泰勒级数 * * 二 函数展开成幂级数 一 泰勒公式与泰勒级数 1.泰勒公式： 其中 在 与 之间 2.麦克劳林公式 其中 在 与 之间 3.定义 如果f(x)在点 处任意阶可导,则幂级数 称为 在点 的泰勒级数. 称为 在 点 的麦克劳林级数. 二 函数展开成幂级数 1. 麦克劳林级数直接展开法 设函数 f(x) 在区间（-R,R）内有任意阶导数， 且能 展开成x的幂级数 由可导性知， 例1 用直接展开法将函数 展成 x 的幂级数。 解 由于 则 幂级数为 因为 该幂级数收敛半径 收敛区间为 所以 例2 用直接展开法将函数 展成 x的幂级数。 解 由于 故 依次循环取0，1，0，-1，…，于是得级数 易知它的收敛半径 收敛区间为 所以 2 . 间接展开法 以上求 的幂级数展开式都需要求出 的 任意阶导数， 求出 代入公式，显然比较麻烦。 下面介绍利用已知函数展开式，通过幂级数的运算或变 量代换求函数展开式的方法，称之为间接展开法。 *